Weitere Aufgaben für BW24.1 - 20

  1. Aufgabe

    Installieren Sie R und ein Frontend für R, z.B. R-Studio. (Installieren Sie möglichst nicht auf einem Netzwerklaufwerk, Clouodlaufwerk, OneDrive,… - das wird kompliziert!)

    Speichern Sie die Datei D01.csv in Ihrem Arbeitsverzeichnis. (Wenn Sie die Datei nicht speichern, sondern zunächst in einem Tabellenkalkulationsprogramm, z.B. Microsoft Excel, öffnen, und danach speichern, können viele Dinge schief gehen. Vermeiden Sie Umwege über Microsoft Excel! Falls Ihr Browser die Datei nicht speichern will, hilft es oft, mit der rechten Maustaste auf den Link zu klicken. Sehr oft erscheint dann ein Menü, in dem Sie »Speichern als…« oder »Link speichern…« wählen können.)

    Wenn Sie nicht wissen, welches Verzeichnis R gerade als Arbeitsverzeichnis verwendet, hilft das Kommando

    getwd()

    In RStudio können Sie Ihr Arbeitsverzeichnis auch über das Menü einstellen: Session / Set Working Directory / Choose Directory

    Laden Sie die Datei D01.csv mit dem Kommando

    D01 <- read.csv("D01.csv")

    Jetzt enthält die Variable D01 Ihren Datensatz. (Natürlich müssen Sie nicht D01 als Namen für den Datensatz verwenden. D01 ist nur ein Beispiel.) In dieser Übung werfen wir einen kurzen Blick auf den Datensatz:


    1. Benutzen Sie das Kommando nrow(D01) um festzustellen, wie viele Zeilen Ihr Datensatz hat. Wie viele Zeilen sind es?
    2. Benutzen Sie das Kommando names(D01) um die Namen der Variablen in diesem Datensatz zu ermitteln. Wie viele Variablen enthält Ihr Datensatz?
    3. Benutzen Sie das Kommando mean(D01$X3) um den Mittelwert der Variablen X3 in diesem Datensatz zu ermitteln.
    4. Benutzen Sie das Kommando median(D01$X3) um den Median der Variablen X3 in diesem Datensatz zu ermitteln.
    5. Benutzen Sie das Kommando sd(D01$X3) um die Standardabweichung der Variablen X3 in diesem Datensatz zu ermitteln. (Wenn Moodle sich über eine “incomplete answer” beklagt, prüfen Sie, ob Ihre Antwort im richtigen Format vorliegt. Abhängig von den Einstellungen in Moodle kann es sein, dass Moodle Dezimalzahlen z.B. als 3.14 erwartet (z.B. wenn Sie in Moodle als Sprache Englisch wählen), oder als 3,14 (wenn Sie in Moodle als Sprache z.B. Deutsch wählen).)

  2. Aufgabe

    Ihre Stichprobe der Zufallsvariablen XX enthält n=8n=8 unabhängige und normalverteilte Beobachtungen: X1,,X8X_1,\ldots,X_{8}. Sie suchen einen Schätzer für E[X]E[X]. Welche der folgenden Aussagen sind wahr?

    1. Der Schätzer 13X1+23X3\frac{1}{3}X_{1}+\frac{2}{3}X_{3} ist ein erwartungstreuer Schätzer für E[X]E[X].

      Ja / Nein

    2. Der Schätzer 45X2+15X5+35X615X7\frac{4}{5}X_{2}+\frac{1}{5}X_{5}+\frac{3}{5}X_{6}-\frac{1}{5}X_{7} ist ein erwartungstreuer Schätzer für E[X]E[X].

      Ja / Nein

    3. Der Schätzer 411X3+111X4+311X7+311X8\frac{4}{11}X_{3}+\frac{1}{11}X_{4}+\frac{3}{11}X_{7}+\frac{3}{11}X_{8} ist ein erwartungstreuer Schätzer für E[X]E[X].

      Ja / Nein

    4. Der Schätzer X4X_{4} ist ein erwartungstreuer Schätzer für E[X]E[X].

      Ja / Nein

    5. Der Schätzer 37X3+17X4+37X5\frac{3}{7}X_{3}+\frac{1}{7}X_{4}+\frac{3}{7}X_{5} dominiert X1+14X512X6+14X7X_{1}+\frac{1}{4}X_{5}-\frac{1}{2}X_{6}+\frac{1}{4}X_{7}.

      Ja / Nein

    6. Der Schätzer X2X8X_{2}-X_{8} dominiert 12X412X5+12X6+2X8-\frac{1}{2}X_{4}-\frac{1}{2}X_{5}+\frac{1}{2}X_{6}+2X_{8}.

      Ja / Nein



  3. Aufgabe

    Die Zufallsvariable XX hat eine Varianz von σX2=400\sigma^2_X=400. Sie haben vor, eine Stichprobe von nn unabhängigen und identisch verteilten Beobachtungen zu ziehen. Wie groß muss Ihre Stichprobe mindestens sein, damit die Varianz des Stichprobenmittelwertes σX2\sigma^2_{\bar{X}} nicht größer als 3636 ist? (Denken Sie daran: es gibt keine halben oder dreiviertel Stichprobenbeobachtungen.)


  4. Aufgabe

    Eine Zufallsvariable XX ist wie folgt verteilt:

    • P(X=A)=θP(X=A)=\theta
    • P(X=B)=3θP(X=B)=3\theta
    • P(X=C)=14θP(X=C)=1-4\theta

    wobei θ[0,1/4]\theta\in[0,1/4].

    Eine Stichprobe ergibt die folgenden Beobachtungen:

    {C,A,A,B}\{ C, A, A, B \}.

    Was ist der Maximum-Likelihood Schätzer für θ\theta?


  5. Aufgabe

    Eine Zufallsvariable XX folgt einer Exponentialverteilung mit Parameter λ\lambda.

    Die Dichtefunktion der Exponentialverteilung ist f(X)=λeλXf(X)=\lambda e^{-\lambda X} für X0X \ge 0.

    Eine Stichprobe ergibt die Beobachtungen {2,4}\{ 2, 4 \}.

    Was ist der Maximum-Likelihood Schätzer für λ\lambda?


  6. Aufgabe

    Eine Zufallsvariable XX folgt einer Verteilung 𝒳θ\mathcal{X}_\theta mit Erwartungswert E(X)=2+θE(X)=2+\theta und Varianz 1/(2+θ)1/(2+\theta).

    Ihre Stichprobe enthält die folgenden Beobachtungen:

    {6,8,4,5,1,0}\{ 6,8,4,5,1,0 \}.

    Berechnen Sie den Momentenschätzer für θ\theta auf Basis des ersten Moments.


  7. Aufgabe

    Verwenden Sie die Stichprobe X aus der Datei D04.csv.

    X ist eine Stichprobe der Zufallsvariablen XX.

    Sie nehmen nun an, dass die Zufallsvariable XX einer Normalverteilung folgt: XN(μ,σ2)X \sim N(\mu,\sigma^2).


    1. Was ist die Untergrenze des 95%-Credible-Intervals für μ\mu?
    2. Was ist die Obergrenze des 95%-Credible-Intervals für μ\mu?
    3. Was ist die Untergrenze des 95%-Credible-Intervals für σ2\sigma^2?
    4. Was ist die Obergrenze des 95%-Credible-Intervals für σ2\sigma^2?
    5. Wie wahrscheinlich ist es etwa (in Prozent), dass μ\mu>17.766?
    6. Wie wahrscheinlich ist es etwa (in Prozent), dass μ\mu im Intervall [17.245,17.766] liegt?

  8. Aufgabe

    Verwenden Sie in dieser Aufgabe ein Signifikanzniveau von 0.001.


    1. Stellen Sie sich vor, Sie führen einen zweiseitigen Test durch. Sie gehen davon aus, dass Ihre Teststatistik einer Standard-Normalverteilung folgt. Wie groß darf der absolute Betrag Ihrer Teststatistik maximal werden, ohne dass Sie Ihre Nullhypothese ablehnen müssen?
    2. Sie gehen davon aus, dass die Zufallsvariable XX einer Normalverteilung mit unbekanntem Mittelwert und Standardabweichung 4 folgt. In Ihrer Stichprobe mit 21 Beobachtungen finden Sie einen Stichprobenmittelwert von -5. Sie führen einen zweiseitigen Test durch. Ihre Nullhypothese ist, dass der Mittelwert von XX den Wert 0.1 hat. Wie groß ist der absolute Betrag Ihrer Teststatistik?
    3. Sie gehen weiter von einer Standardabweichung von 4 aus. Jetzt betrachten Sie eine Stichprobe mit 21 Beobachtungen und mit Stichprobenmittelwert 10. Die Nullhypothese Ihres zweiseitigen Tests ist weiter, dass der Mittelwert von XX den Wert 0.1 hat. Wie groß ist der pp-Wert (auf 4 Nachkommastellen gerundet)?

  9. Aufgabe

    Der Datensatz in der Datei DVT.csv enthält zwei Variablen: XSA und pwi. Die Variable pwi gibt an, zu welcher Gruppe (AF oder PV) die Beobachtung XSA gehört.

    Vergleichen Sie die beiden Gruppen AF und PV mit einem tt-Test.

    1. Ihre Nullhypothese ist, der Mittelwert von XSA sei in beiden Gruppen gleich. Wie groß ist der pp-Wert für den tt-Test?
    2. Sie verwenden ein Signifikanzniveau von 0.1%. Können Sie Ihre Nullhypothese ablehnen? Ja / Nein
    3. Ihre Nullhypothese ist, der Mittelwert von XSA sei in Gruppe AF größer als in Gruppe PV. Wie groß ist der pp-Wert für den tt-Test?
    4. Sie verwenden ein Signifikanzniveau von 0.1%. Können Sie Ihre Nullhypothese ablehnen? Ja / Nein
    5. Ihre Nullhypothese ist, der Mittelwert von XSA sei in Gruppe PV größer als in Gruppe AF. Wie groß ist der pp-Wert für den tt-Test?
    6. Sie verwenden ein Signifikanzniveau von 0.1%. Können Sie Ihre Nullhypothese ablehnen? Ja / Nein


  10. Aufgabe

    Sie betrachten eine normalverteilte Zufallsvariable XN(μ,σ2)X \sim N(\mu,\sigma^2) mit unbekannter Varianz σ2\sigma^2. In Ihrer Stichprobe mit 26 Beobachtungen finden Sie einen Stichprobenmittelwert von 4 und eine Standardabweichung in der Stichprobe von 6.

    • Bestimmen Sie ein 95%-Konfidenzintervall für Ihre Schätzung des Erwartungswerts von XX: μ̂\hat{\mu}.

    1. Was ist die untere Grenze des Intervals?
    2. Was ist die obere Grenze des Intervals?

  11. Aufgabe

    Sie vergleichen die zwei Merkmale AN, FY mit den zwei Merkmalen HE, TM. Sie wollen prüfen, ob die zwei Merkmale AN, FY von den zwei Merkmalen HE, TM unabhängig sind.

    Die folgende Tabelle zeigt die Häufigkeiten, mit denen Sie Kombinationen der zwei Merkmale AN, FY mit den zwei Merkmalen HE, TM in Ihrer Stichprobe gefunden haben:

    Das folgende Kommando speichert eine solche Tabelle in der Variablen WV:

    WV <- rbind(c(21, 5), c(34, 18))

    Ihr Signifikanzniveau ist 5%. Ihre Nullhypothese ist, die Merkmale AN, FY sind von den Merkmalen HE, TM unabhängig.

    Testen Sie diese Nullhypothese mit einem Chi-Quadrat-Test.

    1. Welchen pp-Wert erhalten Sie (geben Sie mindestens 4 Nachkommastellen an)?
    2. Sie verwenden ein Signifikanzniveau von 5%. Können Sie Ihre Nullhypothese ablehnen? Ja / Nein


  12. Aufgabe

    Der Datensatz in der Datei DRE.csv enthält 38 paarweise Beobachtungen in den beiden Variablen HV und WN. Die Beobachtungen von HV und WN in der gleichen Zeile des Datensatzes gehören jeweils zur gleichen Beobachtungseinheit, sie bilden ein Paar.

    Vergleichen Sie die beiden Variablen HV und WN. Für Hypothesentests verwenden Sie einen Wilcoxon signed-rank Test.

    1. Was ist der Median der Differenz HV-WN?
    2. Ihre Nullhypothese ist, der Median der Differenz HV-WN sei Null. Wie groß ist der pp-Wert (geben Sie vier Nachkommastellen an) für den Wilcoxon signed-rank test?
    3. Sie verwenden ein Signifikanzniveau von 1%. Können Sie Ihre Nullhypothese ablehnen? Ja / Nein
    4. Ihre Nullhypothese ist, der Median der Differenz HV-WN sei positiv oder Null. Wie groß ist der pp-Wert (geben Sie vier Nachkommastellen an) für den Wilcoxon signed-rank test?
    5. Sie verwenden ein Signifikanzniveau von 1%. Können Sie Ihre Nullhypothese ablehnen? Ja / Nein
    6. Ihre Nullhypothese ist, der Median der Differenz HV-WN sei negativ oder Null. Wie groß ist der pp-Wert (geben Sie vier Nachkommastellen an) für den Wilcoxon signed-rank test?
    7. Sie verwenden ein Signifikanzniveau von 1%. Können Sie Ihre Nullhypothese ablehnen? Ja / Nein


  13. Aufgabe

    Der Datensatz in der Datei DVV.csv enthält zwei Variablen: AF und WE.

    Um WE als lineare Funktion von AF zu erklären, schätzen Sie die Gleichung

    WE =β0+β1= \beta_0 + \beta_1 AF +u{} + u.

    Sie nehmen an, dass uu normalverteilt ist.

    1. Welchen Wert schätzen Sie für β1\beta_1?
    2. Ihre Nullhypothese ist β1=0\beta_1=0. Bestimmen Sie (auf vier Nachkommastellen genau) den pp-Wert für den (zweiseitigen) Test.
    3. Sie verwenden ein Signifikanzniveau von 1 %. Können Sie Ihre Nullhypothese ablehnen? Ja / Nein
    4. Was ist die Untergrenze des 95% Konfidenzintervalls für β1\beta_1?
    5. Was ist die Obergrenze des 95% Konfidenzintervalls für β1\beta_1?


  14. Aufgabe

    Der Datensatz in der Datei DCF.csv enthält 5 Variablen: BT, LN, RM, SQ, WE.

    Mit diesen Daten schätzen Sie den folgenden Zusammenhang:

    WE=β0+βBTBT+βLNLN+βRMRM+βSQSQ+uWE = \beta_0 + \beta_{BT} BT + \beta_{LN} LN + \beta_{RM} RM + \beta_{SQ} SQ + u.

    Sie nehmen an, dass uu normalverteilt ist.

    1. Welchen Wert schätzen Sie für βSQ\beta_{SQ}?
    2. Ihre Nullhypothese ist H0:βSQ=0H_0: \beta_{SQ} = 0. Bestimmen Sie (auf vier Nachkommastellen genau) den pp-Wert für den (zweiseitigen) Test.
    3. Sie verwenden ein Signifikanzniveau von 1%. Können Sie Ihre Nullhypothese ablehnen? Ja / Nein
    4. Sie haben keine a-priori Informationen über die Verteilung von βSQ\beta_{SQ} (Sie halten alle Werte für gleich wahrscheinlich). Was ist die Untergrenze des 95%-Credible-Interval für βSQ\beta_{SQ}?
    5. Was ist die Obergrenze des 95%-Credible-Interval für βSQ\beta_{SQ}?


  15. Aufgabe

    Sie untersuchen den Einfluss der beiden Variablen RJ und XA auf die Variable YE. Sie haben den folgenden Zusammenhang geschätzt:

    YE=1+2RJ+5XA+RJXA+ϵYE = -1 + 2 RJ + 5 XA + RJ \cdot XA + \epsilon

    YEYE ist Ihre abhängige Variable. Die Variablen RJRJ und XAXA sind Ihre unabhängigen Variablen. ϵ\epsilon ist das Residuum.

    1. Was ist der marginale Effekt von RJ auf YE wenn XA den Wert 0 hat?
    2. Was ist der marginale Effekt von XA auf YE wenn RJ den Wert 0 hat?
    3. Was ist der marginale Effekt von RJ auf YE wenn XA den Wert 3 hat?
    4. Was ist der marginale Effekt von XA auf YE wenn RJ den Wert -2 hat?


  16. Aufgabe

    Sie betrachten folgenden Zusammenhang:

    Y=β0+β1X1+β2X2+β3X1X2+uY = \beta_0 + \beta_1 X_1 + \beta_2 X_2 + \beta_3 X_1 X_2 + u

    Die Variable X1X_1 bildet zwei Situationen ab, K und O: Im Fall K ist X1=0X_1=0. Im Fall O ist X1=1X_1=1.

    Auch die Variable X2X_2 bildet zwei Situationen ab, R und S: Im Fall R ist X2=0X_2=0. Im Fall S ist X2=1X_2=1.

    Die Mittelwerte von YY für die vier möglichen Kombinationen von K und O und R und S sind in der folgenden Tabelle angegeben:


    1. Wie groß ist β0\beta_0?
    2. Wie groß ist β1\beta_1?
    3. Wie groß ist β2\beta_2?
    4. Wie groß ist β3\beta_3?

  17. Aufgabe

    Verwenden Sie die Daten aus der Datei DUX.csv. Bestimmen Sie bei den folgenden Fragen zunächst das passende Modell. Welcher (ggf. nicht lineare) Zusammenhang zwischen unabhängiger und abhängiger Variablen ist angemessen? Beantworten Sie dann die Fragen.


    1. Verwenden Sie ein Modell, in dem sich RZ um einen festen Prozentsatz ändert, wenn sich CL um einen festen Betrag ändert. Um wieviel Prozent ändert sich RZ etwa, wenn sich CL um eine Einheit ändert?
    2. Verwenden Sie ein Modell, in dem die Elastizität von SE bezüglich JB konstant ist. Was ist die Elastizität von SE bezüglich JB?
    3. Verwenden Sie ein Modell, in dem der marginale Effekt von NP auf TH konstant ist. Was ist der marginale Effekt von NP auf TH?
    4. Verwenden Sie ein Modell, in dem sich YW um einen festen Betrag ändert, wenn sich QM um einen festen Prozentsatz ändert. Um welchen Betrag ändert sich YW etwa, wenn sich QM um 1 Prozent ändert?

  18. Aufgabe

    In dieser Frage verwenden Sie ein Signifikanzniveau von 0.001.

    1. Sie führen einen zweiseitigen Test durch. Sie gehen davon aus, dass Ihre Teststatistik einer Standard-Normalverteilung folgt. Wie groß darf der absolute Betrag Ihrer Teststatistik maximal werden, ohne dass Sie Ihre Nullhypothese ablehnen müssen? (Sie können diesen Wert mit R berechnen.)
    2. Sie gehen davon aus, dass die Zufallsvariable XX einer Normalverteilung mit unbekanntem Mittelwert und Standardabweichung 5 folgt. In Ihrer Stichprobe mit 26 Beobachtungen finden Sie einen Stichprobenmittelwert von 2. Sie führen einen zweiseitigen Test durch. Ihre Nullhypothese ist, dass der Mittelwert von XX den Wert 2 hat. Wie groß ist der absolute Betrag Ihrer Teststatistik?
    3. Lehnen Sie Ihre Nullhypothese ab? Ja / Nein
    4. Sie nehmen weiter an, dass die Zufallsvariable XX einer Normalverteilung mit unbekanntem Mittelwert und Standardabweichung 5 folgt. In Ihrer Stichprobe mit 26 Beoachtungen finden Sie einen Stichprobenmittelwert von -5. Ihre Nullhypothese ist weiter, dass XX einen Mittelwert von 2 hat. Wie groß ist der pp-Wert für einen zweiseitigen Test (geben Sie mindestens 4 Nachkommastellen an)?
    5. Lehnen Sie mit dieser Stichprobe Ihre Nullhypothese ab? Ja / Nein


  19. Aufgabe

    Der Datensatz in der Datei DLE.csv enthält vier Variablen: E, L, P und X.

    Mit diesen Daten schätzen Sie den folgenden Zusammenhang:

    X=β0+βEE+βLL+βPP+uX = \beta_0 + \beta_{E} E + \beta_{L} L + \beta_{P} P + u.

    Sie nehmen an, dass uu normalverteilt ist.

    1. Welchen Wert schätzen Sie mit dem OLS Schätzer für βL\beta_{L}?
    2. Ihre Nullhypothese ist H0:βL=0H_0: \beta_{L} = 0. Bestimmen Sie (auf vier Nachkommastellen genau) den pp-Wert für den (zweiseitigen) Test.
    3. Sie verwenden ein Signifikanzniveau von 5%. Können Sie Ihre Nullhypothese ablehnen? Ja / Nein
    4. Sie haben keine a-priori Informationen über die Verteilung von βL\beta_{L}. Was ist die Untergrenze des 95%-Credible-Interval für βL\beta_{L}?
    5. Was ist die Obergrenze des 95%-Credible-Intervals für βL\beta_{L}?


  20. Aufgabe

    Der Datensatz in der Datei DHL.csv enthält vier Variablen: D, G, K und S.

    Sie betrachten folgenden Zusammenhang:

    S=β0+βDD+βGG+βDGD×G+βKK+uS = \beta_0 + \beta_{D}D+\beta_{G}G+\beta_{D G}D\times G+\beta_{K}K + u.

    Sie nehmen an, dass uu normalverteilt ist. Verwenden Sie den OLS Schätzer, um die Koeffizienten β0\beta_0, βD\beta_{D}, βG\beta_{G}, βDG\beta_{D G} und βK\beta_{K} zu schätzen.

    1. Wie groß ist der marginale Effekt von DD auf SS wenn GG den Wert 0 hat?
    2. Wie groß ist der marginale Effekt von GG auf SS wenn DD den Wert 0 hat?
    3. Wie groß ist der marginale Effekt von DD auf SS wenn GG den Wert 2 hat?
    4. Wie groß ist der marginale Effekt von GG auf SS wenn DD den Wert 3 hat?


  21. Aufgabe

    Der Datensatz in der Datei DVX.csv enthält zwei Variablen: xd und tb. Die Variable tb gibt an, zu welcher Gruppe (AG oder QL) die Beobachtung xd gehört.

    Vergleichen Sie die beiden Gruppen AG und QL mit einem tt-Test.

    1. Ihre Nullhypothese ist, der Mittelwert von xd sei in beiden Gruppen gleich. Wie groß ist der pp-Wert für den tt-Test (geben Sie bitte vier Nachkommastellen an)?
    2. Sie verwenden ein Signifikanzniveau von 1%. Können Sie Ihre Nullhypothese ablehnen? Ja / Nein
    3. Ihre Nullhypothese ist, der Mittelwert von xd sei in Gruppe AG größer als in Gruppe QL. Wie groß ist der pp-Wert für den tt-Test (geben Sie bitte vier Nachkommastellen an)?
    4. Sie verwenden ein Signifikanzniveau von 1%. Können Sie Ihre Nullhypothese ablehnen? Ja / Nein
    5. Ihre Nullhypothese ist, der Mittelwert von xd sei in Gruppe QL größer als in Gruppe AG. Wie groß ist der pp-Wert für den tt-Test (geben Sie bitte vier Nachkommastellen an)?
    6. Sie verwenden ein Signifikanzniveau von 1%. Können Sie Ihre Nullhypothese ablehnen? Ja / Nein


  22. Aufgabe

    Sie betrachten eine normalverteilte Zufallsvariable XN(μ,σ2)X \sim N(\mu,\sigma^2) mit unbekannter Varianz σ2\sigma^2. In Ihrer Stichprobe mit 15 Beobachtungen finden Sie einen Stichprobenmittelwert von 10 und eine Standardabweichung in der Stichprobe von 6.

    Bestimmen Sie ein 99%-Konfidenzintervall für μ\mu.

    1. Was ist die untere Grenze des 99%-Konfidenzintervals für μ\mu?
    2. Was ist die obere Grenze des 99%-Konfidenzintervals für μ\mu?
    3. Sie verwenden ein Signifikanzniveau von 1%. Ihre Nullhypothese ist μ0=15\mu_0=15. Können Sie Ihre Nullhypothese ablehnen? Ja / Nein


  23. Aufgabe

    Ein Merkmal in Ihrer Stichprobe kann vier verschiedene Werte haben: DH, VE, WA, XZ.

    Die folgende Tabelle zeigt in der Spalte Häufigkeit die Häufigkeiten, mit denen Sie die vier Werte DH, VE, WA, XZ in Ihrer Stichprobe beobachtet haben.

    Sie wollen eine Theorie testen. Nach dieser Theorie treten die vier Werte DH, VE, WA, XZ mit Wahrscheinlichkeiten auf, die Sie in der Spalte Erwartete Wahrscheinlichkeit finden:

       Häufigkeit       Erwartete Wahrscheinlichkeit   
    DH 22 1/10
    VE 20 3/10
    WA 9 3/10
    XZ 26 3/10

    Mit anderen Worten: Sie haben 22 mal den Wert DH beobachtet. Sie erwarten, dass in der Grundgesamtheit dieser Wert mit Wahrscheinlichkeit 1/10 auftritt. Sie haben 20 mal den Wert VE beobachtet. Sie erwarten, dass in der Grundgesamtheit dieser Wert mit Wahrscheinlichkeit 3/10 auftritt. Sie haben 9 mal den Wert WA beobachtet. Sie erwarten, dass in der Grundgesamtheit dieser Wert mit Wahrscheinlichkeit 3/10 auftritt. Sie haben 26 mal den Wert XZ beobachtet. Sie erwarten, dass in der Grundgesamtheit dieser Wert mit Wahrscheinlichkeit 3/10 auftritt. .

    Mit dem folgenden Kommando speichern Sie einen Vektor, der die beobachteten Häufigkeiten darstellt, in der Variablen JG:

    JG <- c(22, 20, 9, 26)

    Mit dem folgenden Kommando speichern Sie einen Vektor, der die erwarteten Wahrscheinlichkeiten darstellt, in der Variablen prwv:

    prwv <- c(1/10, 3/10, 3/10, 3/10)

    Ihr Signifikanzniveau ist 5%. Ihre Nullhypothese ist, die vier Werte DH, VE, WA, XZ sind entsprechend den Wahrscheinlichkeiten, die Sie in der Spalte Erwartete Wahrscheinlichkeit finden, verteilt.

    Testen Sie diese Nullhypothese mit einem Chi-Quadrat-Anpassungs-Test.

    1. Welchen pp-Wert erhalten Sie?
    2. Sie verwenden ein Signifikanzniveau von 5%. Können Sie Ihre Nullhypothese ablehnen? Ja / Nein