Weitere Aufgaben für BW24.1 - 09

  1. Aufgabe

    Installieren Sie R und ein Frontend für R, z.B. R-Studio. (Installieren Sie möglichst nicht auf einem Netzwerklaufwerk, Clouodlaufwerk, OneDrive,… - das wird kompliziert!)

    Speichern Sie die Datei D01.csv in Ihrem Arbeitsverzeichnis. (Wenn Sie die Datei nicht speichern, sondern zunächst in einem Tabellenkalkulationsprogramm, z.B. Microsoft Excel, öffnen, und danach speichern, können viele Dinge schief gehen. Vermeiden Sie Umwege über Microsoft Excel! Falls Ihr Browser die Datei nicht speichern will, hilft es oft, mit der rechten Maustaste auf den Link zu klicken. Sehr oft erscheint dann ein Menü, in dem Sie »Speichern als…« oder »Link speichern…« wählen können.)

    Wenn Sie nicht wissen, welches Verzeichnis R gerade als Arbeitsverzeichnis verwendet, hilft das Kommando

    getwd()

    In RStudio können Sie Ihr Arbeitsverzeichnis auch über das Menü einstellen: Session / Set Working Directory / Choose Directory

    Laden Sie die Datei D01.csv mit dem Kommando

    D01 <- read.csv("D01.csv")

    Jetzt enthält die Variable D01 Ihren Datensatz. (Natürlich müssen Sie nicht D01 als Namen für den Datensatz verwenden. D01 ist nur ein Beispiel.) In dieser Übung werfen wir einen kurzen Blick auf den Datensatz:


    1. Benutzen Sie das Kommando nrow(D01) um festzustellen, wie viele Zeilen Ihr Datensatz hat. Wie viele Zeilen sind es?
    2. Benutzen Sie das Kommando names(D01) um die Namen der Variablen in diesem Datensatz zu ermitteln. Wie viele Variablen enthält Ihr Datensatz?
    3. Benutzen Sie das Kommando mean(D01$X3) um den Mittelwert der Variablen X3 in diesem Datensatz zu ermitteln.
    4. Benutzen Sie das Kommando median(D01$X3) um den Median der Variablen X3 in diesem Datensatz zu ermitteln.
    5. Benutzen Sie das Kommando sd(D01$X3) um die Standardabweichung der Variablen X3 in diesem Datensatz zu ermitteln. (Wenn Moodle sich über eine “incomplete answer” beklagt, prüfen Sie, ob Ihre Antwort im richtigen Format vorliegt. Abhängig von den Einstellungen in Moodle kann es sein, dass Moodle Dezimalzahlen z.B. als 3.14 erwartet (z.B. wenn Sie in Moodle als Sprache Englisch wählen), oder als 3,14 (wenn Sie in Moodle als Sprache z.B. Deutsch wählen).)

  2. Aufgabe

    Ihre Stichprobe der Zufallsvariablen XX enthält n=9n=9 unabhängige und normalverteilte Beobachtungen: X1,,X9X_1,\ldots,X_{9}. Sie suchen einen Schätzer für E[X]E[X]. Welche der folgenden Aussagen sind wahr?

    1. Der Schätzer 13X213X3+13X5+43X7-\frac{1}{3}X_{2}-\frac{1}{3}X_{3}+\frac{1}{3}X_{5}+\frac{4}{3}X_{7} ist ein erwartungstreuer Schätzer für E[X]E[X].

      Ja / Nein

    2. Der Schätzer 2X1+2X312X5+32X6-2X_{1}+2X_{3}-\frac{1}{2}X_{5}+\frac{3}{2}X_{6} ist ein erwartungstreuer Schätzer für E[X]E[X].

      Ja / Nein

    3. Der Schätzer 12X5X62X82X9\frac{1}{2}X_{5}-X_{6}-2X_{8}-2X_{9} ist ein erwartungstreuer Schätzer für E[X]E[X].

      Ja / Nein

    4. Der Schätzer 2X3X4X72X_{3}-X_{4}-X_{7} ist ein erwartungstreuer Schätzer für E[X]E[X].

      Ja / Nein

    5. Der Schätzer X4X_{4} dominiert 16X1+23X2+23X412X6\frac{1}{6}X_{1}+\frac{2}{3}X_{2}+\frac{2}{3}X_{4}-\frac{1}{2}X_{6}.

      Ja / Nein

    6. Der Schätzer 15X1+310X2+110X6+25X9\frac{1}{5}X_{1}+\frac{3}{10}X_{2}+\frac{1}{10}X_{6}+\frac{2}{5}X_{9} dominiert 12X2+X3+12X5-\frac{1}{2}X_{2}+X_{3}+\frac{1}{2}X_{5}.

      Ja / Nein



  3. Aufgabe

    Die Zufallsvariable XX hat eine Varianz von σX2=576\sigma^2_X=576. Sie haben vor, eine Stichprobe von nn unabhängigen und identisch verteilten Beobachtungen zu ziehen. Wie groß muss Ihre Stichprobe mindestens sein, damit die Varianz des Stichprobenmittelwertes σX2\sigma^2_{\bar{X}} nicht größer als 3636 ist? (Denken Sie daran: es gibt keine halben oder dreiviertel Stichprobenbeobachtungen.)


  4. Aufgabe

    Eine Zufallsvariable XX ist wie folgt verteilt:

    • P(X=A)=θP(X=A)=\theta
    • P(X=B)=4θP(X=B)=4\theta
    • P(X=C)=15θP(X=C)=1-5\theta

    wobei θ[0,1/5]\theta\in[0,1/5].

    Eine Stichprobe ergibt die folgenden Beobachtungen:

    {B,A,C}\{ B, A, C \}.

    Was ist der Maximum-Likelihood Schätzer für θ\theta?


  5. Aufgabe

    Eine Zufallsvariable XX folgt einer Exponentialverteilung mit Parameter λ\lambda.

    Die Dichtefunktion der Exponentialverteilung ist f(X)=λeλXf(X)=\lambda e^{-\lambda X} für X0X \ge 0.

    Eine Stichprobe ergibt die Beobachtungen {5,4,2,3}\{ 5, 4, 2, 3 \}.

    Was ist der Maximum-Likelihood Schätzer für λ\lambda?


  6. Aufgabe

    Eine Zufallsvariable XX folgt einer Verteilung 𝒳θ\mathcal{X}_\theta mit Erwartungswert E(X)=2+θE(X)=2+\theta und Varianz 1/(2+θ)1/(2+\theta).

    Ihre Stichprobe enthält die folgenden Beobachtungen:

    {5,3,9,6,7,9}\{ 5,3,9,6,7,9 \}.

    Berechnen Sie den Momentenschätzer für θ\theta auf Basis des ersten Moments.


  7. Aufgabe

    Verwenden Sie die Stichprobe X aus der Datei D04.csv.

    X ist eine Stichprobe der Zufallsvariablen XX.

    Sie nehmen nun an, dass die Zufallsvariable XX einer Normalverteilung folgt: XN(μ,σ2)X \sim N(\mu,\sigma^2).


    1. Was ist die Untergrenze des 95%-Credible-Intervals für μ\mu?
    2. Was ist die Obergrenze des 95%-Credible-Intervals für μ\mu?
    3. Was ist die Untergrenze des 95%-Credible-Intervals für σ2\sigma^2?
    4. Was ist die Obergrenze des 95%-Credible-Intervals für σ2\sigma^2?
    5. Wie wahrscheinlich ist es etwa (in Prozent), dass μ\mu>14.539?
    6. Wie wahrscheinlich ist es etwa (in Prozent), dass μ\mu im Intervall [14.886,15.236] liegt?

  8. Aufgabe

    Verwenden Sie in dieser Aufgabe ein Signifikanzniveau von 0.01.


    1. Stellen Sie sich vor, Sie führen einen zweiseitigen Test durch. Sie gehen davon aus, dass Ihre Teststatistik einer Standard-Normalverteilung folgt. Wie groß darf der absolute Betrag Ihrer Teststatistik maximal werden, ohne dass Sie Ihre Nullhypothese ablehnen müssen?
    2. Sie gehen davon aus, dass die Zufallsvariable XX einer Normalverteilung mit unbekanntem Mittelwert und Standardabweichung 1.6 folgt. In Ihrer Stichprobe mit 19 Beobachtungen finden Sie einen Stichprobenmittelwert von -6. Sie führen einen zweiseitigen Test durch. Ihre Nullhypothese ist, dass der Mittelwert von XX den Wert 3 hat. Wie groß ist der absolute Betrag Ihrer Teststatistik?
    3. Sie gehen weiter von einer Standardabweichung von 1.6 aus. Jetzt betrachten Sie eine Stichprobe mit 19 Beobachtungen und mit Stichprobenmittelwert 20. Die Nullhypothese Ihres zweiseitigen Tests ist weiter, dass der Mittelwert von XX den Wert 3 hat. Wie groß ist der pp-Wert (auf 4 Nachkommastellen gerundet)?

  9. Aufgabe

    Der Datensatz in der Datei DVT.csv enthält zwei Variablen: FZR und hpy. Die Variable hpy gibt an, zu welcher Gruppe (BA oder MR) die Beobachtung FZR gehört.

    Vergleichen Sie die beiden Gruppen BA und MR mit einem tt-Test.

    1. Ihre Nullhypothese ist, der Mittelwert von FZR sei in beiden Gruppen gleich. Wie groß ist der pp-Wert für den tt-Test?
    2. Sie verwenden ein Signifikanzniveau von 1%. Können Sie Ihre Nullhypothese ablehnen? Ja / Nein
    3. Ihre Nullhypothese ist, der Mittelwert von FZR sei in Gruppe BA größer als in Gruppe MR. Wie groß ist der pp-Wert für den tt-Test?
    4. Sie verwenden ein Signifikanzniveau von 1%. Können Sie Ihre Nullhypothese ablehnen? Ja / Nein
    5. Ihre Nullhypothese ist, der Mittelwert von FZR sei in Gruppe MR größer als in Gruppe BA. Wie groß ist der pp-Wert für den tt-Test?
    6. Sie verwenden ein Signifikanzniveau von 1%. Können Sie Ihre Nullhypothese ablehnen? Ja / Nein


  10. Aufgabe

    Sie betrachten eine normalverteilte Zufallsvariable XN(μ,σ2)X \sim N(\mu,\sigma^2) mit unbekannter Varianz σ2\sigma^2. In Ihrer Stichprobe mit 17 Beobachtungen finden Sie einen Stichprobenmittelwert von 6 und eine Standardabweichung in der Stichprobe von 8.

    • Bestimmen Sie ein 95%-Konfidenzintervall für Ihre Schätzung des Erwartungswerts von XX: μ̂\hat{\mu}.

    1. Was ist die untere Grenze des Intervals?
    2. Was ist die obere Grenze des Intervals?

  11. Aufgabe

    Sie vergleichen die zwei Merkmale JN, KH mit den zwei Merkmalen QG, TB. Sie wollen prüfen, ob die zwei Merkmale JN, KH von den zwei Merkmalen QG, TB unabhängig sind.

    Die folgende Tabelle zeigt die Häufigkeiten, mit denen Sie Kombinationen der zwei Merkmale JN, KH mit den zwei Merkmalen QG, TB in Ihrer Stichprobe gefunden haben:

    Das folgende Kommando speichert eine solche Tabelle in der Variablen YD:

    YD <- rbind(c(21, 23), c(36, 24))

    Ihr Signifikanzniveau ist 5%. Ihre Nullhypothese ist, die Merkmale JN, KH sind von den Merkmalen QG, TB unabhängig.

    Testen Sie diese Nullhypothese mit einem Chi-Quadrat-Test.

    1. Welchen pp-Wert erhalten Sie (geben Sie mindestens 4 Nachkommastellen an)?
    2. Sie verwenden ein Signifikanzniveau von 5%. Können Sie Ihre Nullhypothese ablehnen? Ja / Nein


  12. Aufgabe

    Der Datensatz in der Datei DYQ.csv enthält 28 paarweise Beobachtungen in den beiden Variablen LY und QM. Die Beobachtungen von LY und QM in der gleichen Zeile des Datensatzes gehören jeweils zur gleichen Beobachtungseinheit, sie bilden ein Paar.

    Vergleichen Sie die beiden Variablen LY und QM. Für Hypothesentests verwenden Sie einen Wilcoxon signed-rank Test.

    1. Was ist der Median der Differenz LY-QM?
    2. Ihre Nullhypothese ist, der Median der Differenz LY-QM sei Null. Wie groß ist der pp-Wert (geben Sie vier Nachkommastellen an) für den Wilcoxon signed-rank test?
    3. Sie verwenden ein Signifikanzniveau von 1%. Können Sie Ihre Nullhypothese ablehnen? Ja / Nein
    4. Ihre Nullhypothese ist, der Median der Differenz LY-QM sei positiv oder Null. Wie groß ist der pp-Wert (geben Sie vier Nachkommastellen an) für den Wilcoxon signed-rank test?
    5. Sie verwenden ein Signifikanzniveau von 1%. Können Sie Ihre Nullhypothese ablehnen? Ja / Nein
    6. Ihre Nullhypothese ist, der Median der Differenz LY-QM sei negativ oder Null. Wie groß ist der pp-Wert (geben Sie vier Nachkommastellen an) für den Wilcoxon signed-rank test?
    7. Sie verwenden ein Signifikanzniveau von 1%. Können Sie Ihre Nullhypothese ablehnen? Ja / Nein


  13. Aufgabe

    Der Datensatz in der Datei DFG.csv enthält zwei Variablen: RT und XC.

    Um XC als lineare Funktion von RT zu erklären, schätzen Sie die Gleichung

    XC =β0+β1= \beta_0 + \beta_1 RT +u{} + u.

    Sie nehmen an, dass uu normalverteilt ist.

    1. Welchen Wert schätzen Sie für β1\beta_1?
    2. Ihre Nullhypothese ist β1=0\beta_1=0. Bestimmen Sie (auf vier Nachkommastellen genau) den pp-Wert für den (zweiseitigen) Test.
    3. Sie verwenden ein Signifikanzniveau von 5 %. Können Sie Ihre Nullhypothese ablehnen? Ja / Nein
    4. Was ist die Untergrenze des 95% Konfidenzintervalls für β1\beta_1?
    5. Was ist die Obergrenze des 95% Konfidenzintervalls für β1\beta_1?


  14. Aufgabe

    Der Datensatz in der Datei DEJ.csv enthält 5 Variablen: CA, HP, TY, VK, XJ.

    Mit diesen Daten schätzen Sie den folgenden Zusammenhang:

    XJ=β0+βCACA+βHPHP+βTYTY+βVKVK+uXJ = \beta_0 + \beta_{CA} CA + \beta_{HP} HP + \beta_{TY} TY + \beta_{VK} VK + u.

    Sie nehmen an, dass uu normalverteilt ist.

    1. Welchen Wert schätzen Sie für βCA\beta_{CA}?
    2. Ihre Nullhypothese ist H0:βCA=0H_0: \beta_{CA} = 0. Bestimmen Sie (auf vier Nachkommastellen genau) den pp-Wert für den (zweiseitigen) Test.
    3. Sie verwenden ein Signifikanzniveau von 5%. Können Sie Ihre Nullhypothese ablehnen? Ja / Nein
    4. Sie haben keine a-priori Informationen über die Verteilung von βCA\beta_{CA} (Sie halten alle Werte für gleich wahrscheinlich). Was ist die Untergrenze des 95%-Credible-Interval für βCA\beta_{CA}?
    5. Was ist die Obergrenze des 95%-Credible-Interval für βCA\beta_{CA}?


  15. Aufgabe

    Sie untersuchen den Einfluss der beiden Variablen BM und LA auf die Variable XJ. Sie haben den folgenden Zusammenhang geschätzt:

    XJ=5+BM2LA+2BMLA+ϵXJ = 5 + BM - 2 LA + 2 BM \cdot LA + \epsilon

    XJXJ ist Ihre abhängige Variable. Die Variablen BMBM und LALA sind Ihre unabhängigen Variablen. ϵ\epsilon ist das Residuum.

    1. Was ist der marginale Effekt von BM auf XJ wenn LA den Wert 0 hat?
    2. Was ist der marginale Effekt von LA auf XJ wenn BM den Wert 0 hat?
    3. Was ist der marginale Effekt von BM auf XJ wenn LA den Wert 1 hat?
    4. Was ist der marginale Effekt von LA auf XJ wenn BM den Wert -3 hat?


  16. Aufgabe

    Sie betrachten folgenden Zusammenhang:

    Y=β0+β1X1+β2X2+β3X1X2+uY = \beta_0 + \beta_1 X_1 + \beta_2 X_2 + \beta_3 X_1 X_2 + u

    Die Variable X1X_1 bildet zwei Situationen ab, I und J: Im Fall I ist X1=0X_1=0. Im Fall J ist X1=1X_1=1.

    Auch die Variable X2X_2 bildet zwei Situationen ab, Y und Z: Im Fall Y ist X2=0X_2=0. Im Fall Z ist X2=1X_2=1.

    Die Mittelwerte von YY für die vier möglichen Kombinationen von I und J und Y und Z sind in der folgenden Tabelle angegeben:


    1. Wie groß ist β0\beta_0?
    2. Wie groß ist β1\beta_1?
    3. Wie groß ist β2\beta_2?
    4. Wie groß ist β3\beta_3?

  17. Aufgabe

    Verwenden Sie die Daten aus der Datei DSK.csv. Bestimmen Sie bei den folgenden Fragen zunächst das passende Modell. Welcher (ggf. nicht lineare) Zusammenhang zwischen unabhängiger und abhängiger Variablen ist angemessen? Beantworten Sie dann die Fragen.


    1. Verwenden Sie ein Modell, in dem sich QL um einen festen Prozentsatz ändert, wenn sich JF um einen festen Betrag ändert. Um wieviel Prozent ändert sich QL etwa, wenn sich JF um eine Einheit ändert?
    2. Verwenden Sie ein Modell, in dem die Elastizität von TE bezüglich KN konstant ist. Was ist die Elastizität von TE bezüglich KN?
    3. Verwenden Sie ein Modell, in dem der marginale Effekt von MW auf VD konstant ist. Was ist der marginale Effekt von MW auf VD?
    4. Verwenden Sie ein Modell, in dem sich ZH um einen festen Betrag ändert, wenn sich PC um einen festen Prozentsatz ändert. Um welchen Betrag ändert sich ZH etwa, wenn sich PC um 1 Prozent ändert?

  18. Aufgabe

    In dieser Frage verwenden Sie ein Signifikanzniveau von 0.05.

    1. Sie führen einen zweiseitigen Test durch. Sie gehen davon aus, dass Ihre Teststatistik einer Standard-Normalverteilung folgt. Wie groß darf der absolute Betrag Ihrer Teststatistik maximal werden, ohne dass Sie Ihre Nullhypothese ablehnen müssen? (Sie können diesen Wert mit R berechnen.)
    2. Sie gehen davon aus, dass die Zufallsvariable XX einer Normalverteilung mit unbekanntem Mittelwert und Standardabweichung 3 folgt. In Ihrer Stichprobe mit 40 Beobachtungen finden Sie einen Stichprobenmittelwert von -9. Sie führen einen zweiseitigen Test durch. Ihre Nullhypothese ist, dass der Mittelwert von XX den Wert 20 hat. Wie groß ist der absolute Betrag Ihrer Teststatistik?
    3. Lehnen Sie Ihre Nullhypothese ab? Ja / Nein
    4. Sie nehmen weiter an, dass die Zufallsvariable XX einer Normalverteilung mit unbekanntem Mittelwert und Standardabweichung 3 folgt. In Ihrer Stichprobe mit 40 Beoachtungen finden Sie einen Stichprobenmittelwert von -20. Ihre Nullhypothese ist weiter, dass XX einen Mittelwert von 20 hat. Wie groß ist der pp-Wert für einen zweiseitigen Test (geben Sie mindestens 4 Nachkommastellen an)?
    5. Lehnen Sie mit dieser Stichprobe Ihre Nullhypothese ab? Ja / Nein


  19. Aufgabe

    Der Datensatz in der Datei DLE.csv enthält vier Variablen: J, L, S und V.

    Mit diesen Daten schätzen Sie den folgenden Zusammenhang:

    V=β0+βJJ+βLL+βSS+uV = \beta_0 + \beta_{J} J + \beta_{L} L + \beta_{S} S + u.

    Sie nehmen an, dass uu normalverteilt ist.

    1. Welchen Wert schätzen Sie mit dem OLS Schätzer für βS\beta_{S}?
    2. Ihre Nullhypothese ist H0:βS=0H_0: \beta_{S} = 0. Bestimmen Sie (auf vier Nachkommastellen genau) den pp-Wert für den (zweiseitigen) Test.
    3. Sie verwenden ein Signifikanzniveau von 10%. Können Sie Ihre Nullhypothese ablehnen? Ja / Nein
    4. Sie haben keine a-priori Informationen über die Verteilung von βS\beta_{S}. Was ist die Untergrenze des 95%-Credible-Interval für βS\beta_{S}?
    5. Was ist die Obergrenze des 95%-Credible-Intervals für βS\beta_{S}?


  20. Aufgabe

    Der Datensatz in der Datei DTR.csv enthält vier Variablen: A, M, X und Y.

    Sie betrachten folgenden Zusammenhang:

    Y=β0+βAA+βMM+βAMA×M+βXX+uY = \beta_0 + \beta_{A}A+\beta_{M}M+\beta_{A M}A\times M+\beta_{X}X + u.

    Sie nehmen an, dass uu normalverteilt ist. Verwenden Sie den OLS Schätzer, um die Koeffizienten β0\beta_0, βA\beta_{A}, βM\beta_{M}, βAM\beta_{A M} und βX\beta_{X} zu schätzen.

    1. Wie groß ist der marginale Effekt von AA auf YY wenn MM den Wert 0 hat?
    2. Wie groß ist der marginale Effekt von MM auf YY wenn AA den Wert 0 hat?
    3. Wie groß ist der marginale Effekt von AA auf YY wenn MM den Wert -1 hat?
    4. Wie groß ist der marginale Effekt von MM auf YY wenn AA den Wert -3 hat?


  21. Aufgabe

    Der Datensatz in der Datei DLX.csv enthält zwei Variablen: rx und ng. Die Variable ng gibt an, zu welcher Gruppe (DW oder JT) die Beobachtung rx gehört.

    Vergleichen Sie die beiden Gruppen DW und JT mit einem tt-Test.

    1. Ihre Nullhypothese ist, der Mittelwert von rx sei in beiden Gruppen gleich. Wie groß ist der pp-Wert für den tt-Test (geben Sie bitte vier Nachkommastellen an)?
    2. Sie verwenden ein Signifikanzniveau von 5%. Können Sie Ihre Nullhypothese ablehnen? Ja / Nein
    3. Ihre Nullhypothese ist, der Mittelwert von rx sei in Gruppe DW größer als in Gruppe JT. Wie groß ist der pp-Wert für den tt-Test (geben Sie bitte vier Nachkommastellen an)?
    4. Sie verwenden ein Signifikanzniveau von 5%. Können Sie Ihre Nullhypothese ablehnen? Ja / Nein
    5. Ihre Nullhypothese ist, der Mittelwert von rx sei in Gruppe JT größer als in Gruppe DW. Wie groß ist der pp-Wert für den tt-Test (geben Sie bitte vier Nachkommastellen an)?
    6. Sie verwenden ein Signifikanzniveau von 5%. Können Sie Ihre Nullhypothese ablehnen? Ja / Nein


  22. Aufgabe

    Sie betrachten eine normalverteilte Zufallsvariable XN(μ,σ2)X \sim N(\mu,\sigma^2) mit unbekannter Varianz σ2\sigma^2. In Ihrer Stichprobe mit 15 Beobachtungen finden Sie einen Stichprobenmittelwert von 4 und eine Standardabweichung in der Stichprobe von 3.

    Bestimmen Sie ein 99%-Konfidenzintervall für μ\mu.

    1. Was ist die untere Grenze des 99%-Konfidenzintervals für μ\mu?
    2. Was ist die obere Grenze des 99%-Konfidenzintervals für μ\mu?
    3. Sie verwenden ein Signifikanzniveau von 1%. Ihre Nullhypothese ist μ0=2.8\mu_0=2.8. Können Sie Ihre Nullhypothese ablehnen? Ja / Nein


  23. Aufgabe

    Ein Merkmal in Ihrer Stichprobe kann vier verschiedene Werte haben: FC, HT, RJ, VN.

    Die folgende Tabelle zeigt in der Spalte Häufigkeit die Häufigkeiten, mit denen Sie die vier Werte FC, HT, RJ, VN in Ihrer Stichprobe beobachtet haben.

    Sie wollen eine Theorie testen. Nach dieser Theorie treten die vier Werte FC, HT, RJ, VN mit Wahrscheinlichkeiten auf, die Sie in der Spalte Erwartete Wahrscheinlichkeit finden:

       Häufigkeit       Erwartete Wahrscheinlichkeit   
    FC 9 1/9
    HT 13 3/9
    RJ 14 3/9
    VN 11 2/9

    Mit anderen Worten: Sie haben 9 mal den Wert FC beobachtet. Sie erwarten, dass in der Grundgesamtheit dieser Wert mit Wahrscheinlichkeit 1/9 auftritt. Sie haben 13 mal den Wert HT beobachtet. Sie erwarten, dass in der Grundgesamtheit dieser Wert mit Wahrscheinlichkeit 3/9 auftritt. Sie haben 14 mal den Wert RJ beobachtet. Sie erwarten, dass in der Grundgesamtheit dieser Wert mit Wahrscheinlichkeit 3/9 auftritt. Sie haben 11 mal den Wert VN beobachtet. Sie erwarten, dass in der Grundgesamtheit dieser Wert mit Wahrscheinlichkeit 2/9 auftritt. .

    Mit dem folgenden Kommando speichern Sie einen Vektor, der die beobachteten Häufigkeiten darstellt, in der Variablen MC:

    MC <- c(9, 13, 14, 11)

    Mit dem folgenden Kommando speichern Sie einen Vektor, der die erwarteten Wahrscheinlichkeiten darstellt, in der Variablen prqh:

    prqh <- c(1/9, 3/9, 3/9, 2/9)

    Ihr Signifikanzniveau ist 10%. Ihre Nullhypothese ist, die vier Werte FC, HT, RJ, VN sind entsprechend den Wahrscheinlichkeiten, die Sie in der Spalte Erwartete Wahrscheinlichkeit finden, verteilt.

    Testen Sie diese Nullhypothese mit einem Chi-Quadrat-Anpassungs-Test.

    1. Welchen pp-Wert erhalten Sie?
    2. Sie verwenden ein Signifikanzniveau von 10%. Können Sie Ihre Nullhypothese ablehnen? Ja / Nein