Weitere Aufgaben für BW24.1 - 08
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Aufgabe
Installieren Sie R und ein Frontend für R, z.B. R-Studio. (Installieren Sie möglichst nicht auf einem Netzwerklaufwerk, Clouodlaufwerk, OneDrive,… - das wird kompliziert!)
Speichern Sie die Datei D01.csv in Ihrem Arbeitsverzeichnis. (Wenn Sie die Datei nicht speichern, sondern zunächst in einem Tabellenkalkulationsprogramm, z.B. Microsoft Excel, öffnen, und danach speichern, können viele Dinge schief gehen. Vermeiden Sie Umwege über Microsoft Excel! Falls Ihr Browser die Datei nicht speichern will, hilft es oft, mit der rechten Maustaste auf den Link zu klicken. Sehr oft erscheint dann ein Menü, in dem Sie »Speichern als…« oder »Link speichern…« wählen können.)
Wenn Sie nicht wissen, welches Verzeichnis R gerade als Arbeitsverzeichnis verwendet, hilft das Kommando
getwd()
In RStudio können Sie Ihr Arbeitsverzeichnis auch über das Menü einstellen: Session / Set Working Directory / Choose Directory
Laden Sie die Datei
D01.csv
mit dem KommandoD01 <- read.csv("D01.csv")
Jetzt enthält die Variable
D01
Ihren Datensatz. (Natürlich müssen Sie nichtD01
als Namen für den Datensatz verwenden.D01
ist nur ein Beispiel.) In dieser Übung werfen wir einen kurzen Blick auf den Datensatz:
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Benutzen Sie das Kommando
nrow(D01)
um festzustellen, wie viele Zeilen Ihr Datensatz hat. Wie viele Zeilen sind es? -
Benutzen Sie das Kommando
names(D01)
um die Namen der Variablen in diesem Datensatz zu ermitteln. Wie viele Variablen enthält Ihr Datensatz? -
Benutzen Sie das Kommando
mean(D01$X1)
um den Mittelwert der VariablenX1
in diesem Datensatz zu ermitteln. -
Benutzen Sie das Kommando
median(D01$X1)
um den Median der VariablenX1
in diesem Datensatz zu ermitteln. -
Benutzen Sie das Kommando
sd(D01$X1)
um die Standardabweichung der VariablenX1
in diesem Datensatz zu ermitteln. (Wenn Moodle sich über eine “incomplete answer” beklagt, prüfen Sie, ob Ihre Antwort im richtigen Format vorliegt. Abhängig von den Einstellungen in Moodle kann es sein, dass Moodle Dezimalzahlen z.B. als3.14
erwartet (z.B. wenn Sie in Moodle als Sprache Englisch wählen), oder als3,14
(wenn Sie in Moodle als Sprache z.B. Deutsch wählen).)
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Benutzen Sie das Kommando
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Aufgabe
Ihre Stichprobe der Zufallsvariablen enthält unabhängige und normalverteilte Beobachtungen: . Sie suchen einen Schätzer für . Welche der folgenden Aussagen sind wahr?
Der Schätzer ist ein erwartungstreuer Schätzer für .
Ja / Nein
Der Schätzer ist ein erwartungstreuer Schätzer für .
Ja / Nein
Der Schätzer ist ein erwartungstreuer Schätzer für .
Ja / Nein
Der Schätzer ist ein erwartungstreuer Schätzer für .
Ja / Nein
Der Schätzer dominiert .
Ja / Nein
Der Schätzer dominiert .
Ja / Nein
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Aufgabe
Die Zufallsvariable hat eine Varianz von . Sie haben vor, eine Stichprobe von unabhängigen und identisch verteilten Beobachtungen zu ziehen. Wie groß muss Ihre Stichprobe mindestens sein, damit die Varianz des Stichprobenmittelwertes nicht größer als ist? (Denken Sie daran: es gibt keine halben oder dreiviertel Stichprobenbeobachtungen.)
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Aufgabe
Eine Zufallsvariable ist wie folgt verteilt:
wobei .
Eine Stichprobe ergibt die folgenden Beobachtungen:
.
Was ist der Maximum-Likelihood Schätzer für ?
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Aufgabe
Eine Zufallsvariable folgt einer Exponentialverteilung mit Parameter .
Die Dichtefunktion der Exponentialverteilung ist für .
Eine Stichprobe ergibt die Beobachtungen .
Was ist der Maximum-Likelihood Schätzer für ?
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Aufgabe
Eine Zufallsvariable folgt einer Verteilung mit Erwartungswert und Varianz .
Ihre Stichprobe enthält die folgenden Beobachtungen:
.
Berechnen Sie den Momentenschätzer für auf Basis des ersten Moments.
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Aufgabe
Verwenden Sie die Stichprobe
X
aus der Datei D04.csv.X
ist eine Stichprobe der Zufallsvariablen .Sie nehmen nun an, dass die Zufallsvariable einer Normalverteilung folgt: .
- Was ist die Untergrenze des 95%-Credible-Intervals für ?
- Was ist die Obergrenze des 95%-Credible-Intervals für ?
- Was ist die Untergrenze des 95%-Credible-Intervals für ?
- Was ist die Obergrenze des 95%-Credible-Intervals für ?
- Wie wahrscheinlich ist es etwa (in Prozent), dass >10.703?
- Wie wahrscheinlich ist es etwa (in Prozent), dass im Intervall [10.050,10.381] liegt?
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Aufgabe
Verwenden Sie in dieser Aufgabe ein Signifikanzniveau von 0.1.
- Stellen Sie sich vor, Sie führen einen zweiseitigen Test durch. Sie gehen davon aus, dass Ihre Teststatistik einer Standard-Normalverteilung folgt. Wie groß darf der absolute Betrag Ihrer Teststatistik maximal werden, ohne dass Sie Ihre Nullhypothese ablehnen müssen?
- Sie gehen davon aus, dass die Zufallsvariable einer Normalverteilung mit unbekanntem Mittelwert und Standardabweichung 4 folgt. In Ihrer Stichprobe mit 15 Beobachtungen finden Sie einen Stichprobenmittelwert von 4. Sie führen einen zweiseitigen Test durch. Ihre Nullhypothese ist, dass der Mittelwert von den Wert 3 hat. Wie groß ist der absolute Betrag Ihrer Teststatistik?
- Sie gehen weiter von einer Standardabweichung von 4 aus. Jetzt betrachten Sie eine Stichprobe mit 15 Beobachtungen und mit Stichprobenmittelwert 10. Die Nullhypothese Ihres zweiseitigen Tests ist weiter, dass der Mittelwert von den Wert 3 hat. Wie groß ist der -Wert (auf 4 Nachkommastellen gerundet)?
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Aufgabe
Der Datensatz in der Datei DTW.csv enthält zwei Variablen:
FGT
undqfi
. Die Variableqfi
gibt an, zu welcher Gruppe (VT oder WZ) die BeobachtungFGT
gehört.Vergleichen Sie die beiden Gruppen VT und WZ mit einem -Test.
- Ihre Nullhypothese ist, der Mittelwert von FGT sei in beiden Gruppen gleich. Wie groß ist der -Wert für den -Test?
- Sie verwenden ein Signifikanzniveau von 10%. Können Sie Ihre Nullhypothese ablehnen? Ja / Nein
- Ihre Nullhypothese ist, der Mittelwert von FGT sei in Gruppe VT größer als in Gruppe WZ. Wie groß ist der -Wert für den -Test?
- Sie verwenden ein Signifikanzniveau von 10%. Können Sie Ihre Nullhypothese ablehnen? Ja / Nein
- Ihre Nullhypothese ist, der Mittelwert von FGT sei in Gruppe WZ größer als in Gruppe VT. Wie groß ist der -Wert für den -Test?
- Sie verwenden ein Signifikanzniveau von 10%. Können Sie Ihre Nullhypothese ablehnen? Ja / Nein
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Aufgabe
Sie betrachten eine normalverteilte Zufallsvariable mit unbekannter Varianz . In Ihrer Stichprobe mit 18 Beobachtungen finden Sie einen Stichprobenmittelwert von 9 und eine Standardabweichung in der Stichprobe von 8.
- Bestimmen Sie ein 95%-Konfidenzintervall für Ihre Schätzung des Erwartungswerts von : .
- Was ist die untere Grenze des Intervals?
- Was ist die obere Grenze des Intervals?
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Aufgabe
Sie vergleichen die drei Merkmale BA, CX, FR mit den zwei Merkmalen HY, ML. Sie wollen prüfen, ob die drei Merkmale BA, CX, FR von den zwei Merkmalen HY, ML unabhängig sind.Die folgende Tabelle zeigt die Häufigkeiten, mit denen Sie Kombinationen der drei Merkmale BA, CX, FR mit den zwei Merkmalen HY, ML in Ihrer Stichprobe gefunden haben:
Das folgende Kommando speichert eine solche Tabelle in der Variablen
ZT
:ZT <- rbind(c(33, 24, 35), c(35, 20, 21))
Ihr Signifikanzniveau ist 0.1%. Ihre Nullhypothese ist, die Merkmale BA, CX, FR sind von den Merkmalen HY, ML unabhängig.
Testen Sie diese Nullhypothese mit einem Chi-Quadrat-Test.
- Welchen -Wert erhalten Sie (geben Sie mindestens 4 Nachkommastellen an)?
- Sie verwenden ein Signifikanzniveau von 0.1%. Können Sie Ihre Nullhypothese ablehnen? Ja / Nein
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Aufgabe
Der Datensatz in der Datei DCU.csv enthält
30
paarweise Beobachtungen in den beiden VariablenKW
undVY
. Die Beobachtungen vonKW
undVY
in der gleichen Zeile des Datensatzes gehören jeweils zur gleichen Beobachtungseinheit, sie bilden ein Paar.Vergleichen Sie die beiden Variablen KW und VY. Für Hypothesentests verwenden Sie einen Wilcoxon signed-rank Test.
- Was ist der Median der Differenz
KW-VY
? - Ihre Nullhypothese ist, der Median der Differenz
KW-VY
sei Null. Wie groß ist der -Wert (geben Sie vier Nachkommastellen an) für den Wilcoxon signed-rank test? - Sie verwenden ein Signifikanzniveau von 0.1%. Können Sie Ihre Nullhypothese ablehnen? Ja / Nein
- Ihre Nullhypothese ist, der Median der Differenz
KW-VY
sei positiv oder Null. Wie groß ist der -Wert (geben Sie vier Nachkommastellen an) für den Wilcoxon signed-rank test? - Sie verwenden ein Signifikanzniveau von 0.1%. Können Sie Ihre Nullhypothese ablehnen? Ja / Nein
- Ihre Nullhypothese ist, der Median der Differenz
KW-VY
sei negativ oder Null. Wie groß ist der -Wert (geben Sie vier Nachkommastellen an) für den Wilcoxon signed-rank test? - Sie verwenden ein Signifikanzniveau von 0.1%. Können Sie Ihre Nullhypothese ablehnen? Ja / Nein
- Was ist der Median der Differenz
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Aufgabe
Der Datensatz in der Datei DFG.csv enthält zwei Variablen:
AN
undEJ
.Um
EJ
als lineare Funktion vonAN
zu erklären, schätzen Sie die GleichungEJ AN .
Sie nehmen an, dass normalverteilt ist.
- Welchen Wert schätzen Sie für ?
- Ihre Nullhypothese ist . Bestimmen Sie (auf vier Nachkommastellen genau) den -Wert für den (zweiseitigen) Test.
- Sie verwenden ein Signifikanzniveau von 0.1 %. Können Sie Ihre Nullhypothese ablehnen? Ja / Nein
- Was ist die Untergrenze des 95% Konfidenzintervalls für ?
- Was ist die Obergrenze des 95% Konfidenzintervalls für ?
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Aufgabe
Der Datensatz in der Datei DEJ.csv enthält 5 Variablen:
BG, HE, QN, RS, XW
.Mit diesen Daten schätzen Sie den folgenden Zusammenhang:
.
Sie nehmen an, dass normalverteilt ist.
- Welchen Wert schätzen Sie für ?
- Ihre Nullhypothese ist . Bestimmen Sie (auf vier Nachkommastellen genau) den -Wert für den (zweiseitigen) Test.
- Sie verwenden ein Signifikanzniveau von 5%. Können Sie Ihre Nullhypothese ablehnen? Ja / Nein
- Sie haben keine a-priori Informationen über die Verteilung von (Sie halten alle Werte für gleich wahrscheinlich). Was ist die Untergrenze des 95%-Credible-Interval für ?
- Was ist die Obergrenze des 95%-Credible-Interval für ?
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Aufgabe
Sie untersuchen den Einfluss der beiden Variablen MZ und PQ auf die Variable YG. Sie haben den folgenden Zusammenhang geschätzt:
ist Ihre abhängige Variable. Die Variablen und sind Ihre unabhängigen Variablen. ist das Residuum.
- Was ist der marginale Effekt von MZ auf YG wenn PQ den Wert 0 hat?
- Was ist der marginale Effekt von PQ auf YG wenn MZ den Wert 0 hat?
- Was ist der marginale Effekt von MZ auf YG wenn PQ den Wert -1 hat?
- Was ist der marginale Effekt von PQ auf YG wenn MZ den Wert 4 hat?
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Aufgabe
Sie betrachten folgenden Zusammenhang:
Die Variable bildet zwei Situationen ab, J und M: Im Fall J ist . Im Fall M ist .
Auch die Variable bildet zwei Situationen ab, O und T: Im Fall O ist . Im Fall T ist .
Die Mittelwerte von für die vier möglichen Kombinationen von J und M und O und T sind in der folgenden Tabelle angegeben:
- Wie groß ist ?
- Wie groß ist ?
- Wie groß ist ?
- Wie groß ist ?
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Aufgabe
Verwenden Sie die Daten aus der Datei DSK.csv. Bestimmen Sie bei den folgenden Fragen zunächst das passende Modell. Welcher (ggf. nicht lineare) Zusammenhang zwischen unabhängiger und abhängiger Variablen ist angemessen? Beantworten Sie dann die Fragen.
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Verwenden Sie ein Modell, in dem sich
JX
um einen festen Prozentsatz ändert, wenn sichBL
um einen festen Betrag ändert. Um wieviel Prozent ändert sichJX
etwa, wenn sichBL
um eine Einheit ändert? -
Verwenden Sie ein Modell, in dem die Elastizität von
PD
bezüglichEQ
konstant ist. Was ist die Elastizität vonPD
bezüglichEQ
? -
Verwenden Sie ein Modell, in dem der marginale Effekt von
FV
aufSH
konstant ist. Was ist der marginale Effekt vonFV
aufSH
? -
Verwenden Sie ein Modell, in dem sich
YZ
um einen festen Betrag ändert, wenn sichGN
um einen festen Prozentsatz ändert. Um welchen Betrag ändert sichYZ
etwa, wenn sichGN
um 1 Prozent ändert?
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Verwenden Sie ein Modell, in dem sich
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Aufgabe
In dieser Frage verwenden Sie ein Signifikanzniveau von 0.001.
- Sie führen einen zweiseitigen Test durch. Sie gehen davon aus, dass Ihre Teststatistik einer Standard-Normalverteilung folgt. Wie groß darf der absolute Betrag Ihrer Teststatistik maximal werden, ohne dass Sie Ihre Nullhypothese ablehnen müssen? (Sie können diesen Wert mit R berechnen.)
- Sie gehen davon aus, dass die Zufallsvariable einer Normalverteilung mit unbekanntem Mittelwert und Standardabweichung 4 folgt. In Ihrer Stichprobe mit 28 Beobachtungen finden Sie einen Stichprobenmittelwert von 6. Sie führen einen zweiseitigen Test durch. Ihre Nullhypothese ist, dass der Mittelwert von den Wert 0.4 hat. Wie groß ist der absolute Betrag Ihrer Teststatistik?
- Lehnen Sie Ihre Nullhypothese ab? Ja / Nein
- Sie nehmen weiter an, dass die Zufallsvariable einer Normalverteilung mit unbekanntem Mittelwert und Standardabweichung 4 folgt. In Ihrer Stichprobe mit 28 Beoachtungen finden Sie einen Stichprobenmittelwert von -1. Ihre Nullhypothese ist weiter, dass einen Mittelwert von 0.4 hat. Wie groß ist der -Wert für einen zweiseitigen Test (geben Sie mindestens 4 Nachkommastellen an)?
- Lehnen Sie mit dieser Stichprobe Ihre Nullhypothese ab? Ja / Nein
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Aufgabe
Der Datensatz in der Datei DFM.csv enthält vier Variablen:
F, H, K und M
.Mit diesen Daten schätzen Sie den folgenden Zusammenhang:
.
Sie nehmen an, dass normalverteilt ist.
- Welchen Wert schätzen Sie mit dem OLS Schätzer für ?
- Ihre Nullhypothese ist . Bestimmen Sie (auf vier Nachkommastellen genau) den -Wert für den (zweiseitigen) Test.
- Sie verwenden ein Signifikanzniveau von 10%. Können Sie Ihre Nullhypothese ablehnen? Ja / Nein
- Sie haben keine a-priori Informationen über die Verteilung von . Was ist die Untergrenze des 95%-Credible-Interval für ?
- Was ist die Obergrenze des 95%-Credible-Intervals für ?
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Aufgabe
Der Datensatz in der Datei DMM.csv enthält vier Variablen:
B, H, W und Y
.Sie betrachten folgenden Zusammenhang:
.
Sie nehmen an, dass normalverteilt ist. Verwenden Sie den OLS Schätzer, um die Koeffizienten , , , und zu schätzen.
- Wie groß ist der marginale Effekt von auf wenn den Wert 0 hat?
- Wie groß ist der marginale Effekt von auf wenn den Wert 0 hat?
- Wie groß ist der marginale Effekt von auf wenn den Wert 1 hat?
- Wie groß ist der marginale Effekt von auf wenn den Wert 3 hat?
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Aufgabe
Der Datensatz in der Datei DGA.csv enthält zwei Variablen:
vm
undsg
. Die Variablesg
gibt an, zu welcher Gruppe (AF oder JK) die Beobachtungvm
gehört.Vergleichen Sie die beiden Gruppen AF und JK mit einem -Test.
- Ihre Nullhypothese ist, der Mittelwert von vm sei in beiden Gruppen gleich. Wie groß ist der -Wert für den -Test (geben Sie bitte vier Nachkommastellen an)?
- Sie verwenden ein Signifikanzniveau von 10%. Können Sie Ihre Nullhypothese ablehnen? Ja / Nein
- Ihre Nullhypothese ist, der Mittelwert von vm sei in Gruppe AF größer als in Gruppe JK. Wie groß ist der -Wert für den -Test (geben Sie bitte vier Nachkommastellen an)?
- Sie verwenden ein Signifikanzniveau von 10%. Können Sie Ihre Nullhypothese ablehnen? Ja / Nein
- Ihre Nullhypothese ist, der Mittelwert von vm sei in Gruppe JK größer als in Gruppe AF. Wie groß ist der -Wert für den -Test (geben Sie bitte vier Nachkommastellen an)?
- Sie verwenden ein Signifikanzniveau von 10%. Können Sie Ihre Nullhypothese ablehnen? Ja / Nein
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Aufgabe
Sie betrachten eine normalverteilte Zufallsvariable mit unbekannter Varianz . In Ihrer Stichprobe mit 16 Beobachtungen finden Sie einen Stichprobenmittelwert von 12 und eine Standardabweichung in der Stichprobe von 8.
Bestimmen Sie ein 95%-Konfidenzintervall für .
- Was ist die untere Grenze des 95%-Konfidenzintervals für ?
- Was ist die obere Grenze des 95%-Konfidenzintervals für ?
- Sie verwenden ein Signifikanzniveau von 5%. Ihre Nullhypothese ist . Können Sie Ihre Nullhypothese ablehnen? Ja / Nein
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Aufgabe
Ein Merkmal in Ihrer Stichprobe kann fünf verschiedene Werte haben: CK, GY, SV, TD, ZM.Die folgende Tabelle zeigt in der Spalte Häufigkeit die Häufigkeiten, mit denen Sie die fünf Werte CK, GY, SV, TD, ZM in Ihrer Stichprobe beobachtet haben.
Sie wollen eine Theorie testen. Nach dieser Theorie treten die fünf Werte CK, GY, SV, TD, ZM mit Wahrscheinlichkeiten auf, die Sie in der Spalte Erwartete Wahrscheinlichkeit finden:
Häufigkeit Erwartete Wahrscheinlichkeit CK 15 1/8 GY 35 2/8 SV 9 1/8 TD 21 1/8 ZM 29 3/8 Mit anderen Worten: Sie haben 15 mal den Wert CK beobachtet. Sie erwarten, dass in der Grundgesamtheit dieser Wert mit Wahrscheinlichkeit 1/8 auftritt. Sie haben 35 mal den Wert GY beobachtet. Sie erwarten, dass in der Grundgesamtheit dieser Wert mit Wahrscheinlichkeit 2/8 auftritt. Sie haben 9 mal den Wert SV beobachtet. Sie erwarten, dass in der Grundgesamtheit dieser Wert mit Wahrscheinlichkeit 1/8 auftritt. Sie haben 21 mal den Wert TD beobachtet. Sie erwarten, dass in der Grundgesamtheit dieser Wert mit Wahrscheinlichkeit 1/8 auftritt. Sie haben 29 mal den Wert ZM beobachtet. Sie erwarten, dass in der Grundgesamtheit dieser Wert mit Wahrscheinlichkeit 3/8 auftritt. .
Mit dem folgenden Kommando speichern Sie einen Vektor, der die beobachteten Häufigkeiten darstellt, in der Variablen
HN
:HN <- c(15, 35, 9, 21, 29)
Mit dem folgenden Kommando speichern Sie einen Vektor, der die erwarteten Wahrscheinlichkeiten darstellt, in der Variablen
prxk
:prxk <- c(1/8, 2/8, 1/8, 1/8, 3/8)
Ihr Signifikanzniveau ist 0.1%. Ihre Nullhypothese ist, die fünf Werte CK, GY, SV, TD, ZM sind entsprechend den Wahrscheinlichkeiten, die Sie in der Spalte Erwartete Wahrscheinlichkeit finden, verteilt.
Testen Sie diese Nullhypothese mit einem Chi-Quadrat-Anpassungs-Test.
- Welchen -Wert erhalten Sie?
- Sie verwenden ein Signifikanzniveau von 0.1%. Können Sie Ihre Nullhypothese ablehnen? Ja / Nein