Oliver Kirchkamp

Weitere Aufgaben für BW24.1 - 07

Aufgabe

Installieren Sie R und ein Frontend für R, z.B. R-Studio. (Installieren Sie möglichst nicht auf einem Netzwerklaufwerk, Clouodlaufwerk, OneDrive,… - das wird kompliziert!)

Speichern Sie die Datei D01.csv in Ihrem Arbeitsverzeichnis. (Wenn Sie die Datei nicht speichern, sondern zunächst in einem Tabellenkalkulationsprogramm, z.B. Microsoft Excel, öffnen, und danach speichern, können viele Dinge schief gehen. Vermeiden Sie Umwege über Microsoft Excel! Falls Ihr Browser die Datei nicht speichern will, hilft es oft, mit der rechten Maustaste auf den Link zu klicken. Sehr oft erscheint dann ein Menü, in dem Sie »Speichern als…« oder »Link speichern…« wählen können.)

Wenn Sie nicht wissen, welches Verzeichnis R gerade als Arbeitsverzeichnis verwendet, hilft das Kommando
```
getwd()
```
In RStudio können Sie Ihr Arbeitsverzeichnis auch über das Menü einstellen: Session / Set Working Directory / Choose Directory

Laden Sie die Datei D01.csv mit dem Kommando
```
D01 <- read.csv("D01.csv")
```
Jetzt enthält die Variable D01 Ihren Datensatz. (Natürlich müssen Sie nicht D01 als Namen für den Datensatz verwenden. D01 ist nur ein Beispiel.) In dieser Übung werfen wir einen kurzen Blick auf den Datensatz:
1. Benutzen Sie das Kommando nrow(D01) um festzustellen, wie viele Zeilen Ihr Datensatz hat. Wie viele Zeilen sind es?
2. Benutzen Sie das Kommando names(D01) um die Namen der Variablen in diesem Datensatz zu ermitteln. Wie viele Variablen enthält Ihr Datensatz?
3. Benutzen Sie das Kommando mean(D01$X3) um den Mittelwert der Variablen X3 in diesem Datensatz zu ermitteln.
4. Benutzen Sie das Kommando median(D01$X3) um den Median der Variablen X3 in diesem Datensatz zu ermitteln.
5. Benutzen Sie das Kommando sd(D01$X3) um die Standardabweichung der Variablen X3 in diesem Datensatz zu ermitteln. (Wenn Moodle sich über eine “incomplete answer” beklagt, prüfen Sie, ob Ihre Antwort im richtigen Format vorliegt. Abhängig von den Einstellungen in Moodle kann es sein, dass Moodle Dezimalzahlen z.B. als 3.14 erwartet (z.B. wenn Sie in Moodle als Sprache Englisch wählen), oder als 3,14 (wenn Sie in Moodle als Sprache z.B. Deutsch wählen).)
Aufgabe

Ihre Stichprobe der Zufallsvariablen $X$ enthält $n=7$ unabhängige und normalverteilte Beobachtungen: $X_1,\ldots,X_{7}$ . Sie suchen einen Schätzer für $E[X]$ . Welche der folgenden Aussagen sind wahr?
1. Der Schätzer $-2X_{2}-2X_{5}-X_{7}$ ist ein erwartungstreuer Schätzer für $E[X]$ .
  
  Ja / Nein
2. Der Schätzer $\frac{1}{6}X_{1}+\frac{1}{3}X_{3}-\frac{2}{3}X_{5}-\frac{1}{6}X_{6}$ ist ein erwartungstreuer Schätzer für $E[X]$ .
  
  Ja / Nein
3. Der Schätzer $\frac{2}{7}X_{1}+\frac{1}{7}X_{2}+\frac{3}{7}X_{6}-\frac{4}{7}X_{7}$ ist ein erwartungstreuer Schätzer für $E[X]$ .
  
  Ja / Nein
4. Der Schätzer $-X_{1}-3X_{5}-3X_{7}$ ist ein erwartungstreuer Schätzer für $E[X]$ .
  
  Ja / Nein
5. Der Schätzer $X_{2}-\frac{1}{3}X_{3}+\frac{1}{3}X_{6}$ dominiert $\frac{4}{5}X_{2}-\frac{4}{5}X_{4}+\frac{4}{5}X_{5}+\frac{1}{5}X_{7}$ .
  
  Ja / Nein
6. Der Schätzer $X_{6}$ dominiert $X_{3}+\frac{1}{3}X_{5}-\frac{1}{3}X_{6}$ .
  
  Ja / Nein
Aufgabe

Die Zufallsvariable $X$ hat eine Varianz von $\sigma^2_X=225$ . Sie haben vor, eine Stichprobe von $n$ unabhängigen und identisch verteilten Beobachtungen zu ziehen. Wie groß muss Ihre Stichprobe mindestens sein, damit die Varianz des Stichprobenmittelwertes $\sigma^2_{\bar{X}}$ nicht größer als $16$ ist? (Denken Sie daran: es gibt keine halben oder dreiviertel Stichprobenbeobachtungen.)
Aufgabe

Eine Zufallsvariable $X$ ist wie folgt verteilt:
- $P(X=A)=\theta$
- $P(X=B)=4\theta$
- $P(X=C)=1-5\theta$
wobei $\theta\in[0,1/5]$ .

Eine Stichprobe ergibt die folgenden Beobachtungen:

$\{ B, C, A \}$ .

Was ist der Maximum-Likelihood Schätzer für $\theta$ ?
Aufgabe

Eine Zufallsvariable $X$ folgt einer Exponentialverteilung mit Parameter $\lambda$ .

Die Dichtefunktion der Exponentialverteilung ist $f(X)=\lambda e^{-\lambda X}$ für $X \ge 0$ .

Eine Stichprobe ergibt die Beobachtungen $\{ 3, 1, 3, 4 \}$ .

Was ist der Maximum-Likelihood Schätzer für $\lambda$ ?
Aufgabe

Eine Zufallsvariable $X$ folgt einer Verteilung $\mathcal{X}_\theta$ mit Erwartungswert $E(X)=5+\theta$ und Varianz $1/(5+\theta)$ .

Ihre Stichprobe enthält die folgenden Beobachtungen:

$\{ 4,8,0,4,5,3,6 \}$ .

Berechnen Sie den Momentenschätzer für $\theta$ auf Basis des ersten Moments.
Aufgabe

Verwenden Sie die Stichprobe X aus der Datei D04.csv.

X ist eine Stichprobe der Zufallsvariablen $X$ .

Sie nehmen nun an, dass die Zufallsvariable $X$ einer Normalverteilung folgt: $X \sim N(\mu,\sigma^2)$ .
1. Was ist die Untergrenze des 95%-Credible-Intervals für $\mu$ ?
2. Was ist die Obergrenze des 95%-Credible-Intervals für $\mu$ ?
3. Was ist die Untergrenze des 95%-Credible-Intervals für $\sigma^2$ ?
4. Was ist die Obergrenze des 95%-Credible-Intervals für $\sigma^2$ ?
5. Wie wahrscheinlich ist es etwa (in Prozent), dass $\mu$ >-4.124?
6. Wie wahrscheinlich ist es etwa (in Prozent), dass $\mu$ im Intervall [-6.169,-5.651] liegt?
Aufgabe

Verwenden Sie in dieser Aufgabe ein Signifikanzniveau von 0.001.
1. Stellen Sie sich vor, Sie führen einen zweiseitigen Test durch. Sie gehen davon aus, dass Ihre Teststatistik einer Standard-Normalverteilung folgt. Wie groß darf der absolute Betrag Ihrer Teststatistik maximal werden, ohne dass Sie Ihre Nullhypothese ablehnen müssen?
2. Sie gehen davon aus, dass die Zufallsvariable $X$ einer Normalverteilung mit unbekanntem Mittelwert und Standardabweichung 7 folgt. In Ihrer Stichprobe mit 18 Beobachtungen finden Sie einen Stichprobenmittelwert von 10. Sie führen einen zweiseitigen Test durch. Ihre Nullhypothese ist, dass der Mittelwert von $X$ den Wert 4 hat. Wie groß ist der absolute Betrag Ihrer Teststatistik?
3. Sie gehen weiter von einer Standardabweichung von 7 aus. Jetzt betrachten Sie eine Stichprobe mit 18 Beobachtungen und mit Stichprobenmittelwert -10. Die Nullhypothese Ihres zweiseitigen Tests ist weiter, dass der Mittelwert von $X$ den Wert 4 hat. Wie groß ist der $p$ -Wert (auf 4 Nachkommastellen gerundet)?
Aufgabe

Der Datensatz in der Datei DTW.csv enthält zwei Variablen: CES und hlb. Die Variable hlb gibt an, zu welcher Gruppe (LN oder ZD) die Beobachtung CES gehört.

Vergleichen Sie die beiden Gruppen LN und ZD mit einem $t$ -Test.
1. Ihre Nullhypothese ist, der Mittelwert von CES sei in beiden Gruppen gleich. Wie groß ist der $p$ -Wert für den $t$ -Test?
2. Sie verwenden ein Signifikanzniveau von 10%. Können Sie Ihre Nullhypothese ablehnen? Ja / Nein
3. Ihre Nullhypothese ist, der Mittelwert von CES sei in Gruppe LN größer als in Gruppe ZD. Wie groß ist der $p$ -Wert für den $t$ -Test?
4. Sie verwenden ein Signifikanzniveau von 10%. Können Sie Ihre Nullhypothese ablehnen? Ja / Nein
5. Ihre Nullhypothese ist, der Mittelwert von CES sei in Gruppe ZD größer als in Gruppe LN. Wie groß ist der $p$ -Wert für den $t$ -Test?
6. Sie verwenden ein Signifikanzniveau von 10%. Können Sie Ihre Nullhypothese ablehnen? Ja / Nein
Aufgabe

Sie betrachten eine normalverteilte Zufallsvariable $X \sim N(\mu,\sigma^2)$ mit unbekannter Varianz $\sigma^2$ . In Ihrer Stichprobe mit 18 Beobachtungen finden Sie einen Stichprobenmittelwert von 5 und eine Standardabweichung in der Stichprobe von 3.
- Bestimmen Sie ein 95%-Konfidenzintervall für Ihre Schätzung des Erwartungswerts von $X$ : $\hat{\mu}$ .
1. Was ist die untere Grenze des Intervals?
2. Was ist die obere Grenze des Intervals?
Aufgabe
Sie vergleichen die drei Merkmale DM, PH, RS mit den drei Merkmalen TE, VX, WA. Sie wollen prüfen, ob die drei Merkmale DM, PH, RS von den drei Merkmalen TE, VX, WA unabhängig sind.

Die folgende Tabelle zeigt die Häufigkeiten, mit denen Sie Kombinationen der drei Merkmale DM, PH, RS mit den drei Merkmalen TE, VX, WA in Ihrer Stichprobe gefunden haben:

Das folgende Kommando speichert eine solche Tabelle in der Variablen YG:
```
YG <- rbind(c(29, 34, 35), c(16, 14, 30), c(36, 13, 18))
```
Ihr Signifikanzniveau ist 0.1%. Ihre Nullhypothese ist, die Merkmale DM, PH, RS sind von den Merkmalen TE, VX, WA unabhängig.

Testen Sie diese Nullhypothese mit einem Chi-Quadrat-Test.
1. Welchen $p$ -Wert erhalten Sie (geben Sie mindestens 4 Nachkommastellen an)?
2. Sie verwenden ein Signifikanzniveau von 0.1%. Können Sie Ihre Nullhypothese ablehnen? Ja / Nein
Aufgabe

Der Datensatz in der Datei DRE.csv enthält 34 paarweise Beobachtungen in den beiden Variablen PW und QS. Die Beobachtungen von PW und QS in der gleichen Zeile des Datensatzes gehören jeweils zur gleichen Beobachtungseinheit, sie bilden ein Paar.

Vergleichen Sie die beiden Variablen PW und QS. Für Hypothesentests verwenden Sie einen Wilcoxon signed-rank Test.
1. Was ist der Median der Differenz PW-QS?
2. Ihre Nullhypothese ist, der Median der Differenz PW-QS sei Null. Wie groß ist der $p$ -Wert (geben Sie vier Nachkommastellen an) für den Wilcoxon signed-rank test?
3. Sie verwenden ein Signifikanzniveau von 10%. Können Sie Ihre Nullhypothese ablehnen? Ja / Nein
4. Ihre Nullhypothese ist, der Median der Differenz PW-QS sei positiv oder Null. Wie groß ist der $p$ -Wert (geben Sie vier Nachkommastellen an) für den Wilcoxon signed-rank test?
5. Sie verwenden ein Signifikanzniveau von 10%. Können Sie Ihre Nullhypothese ablehnen? Ja / Nein
6. Ihre Nullhypothese ist, der Median der Differenz PW-QS sei negativ oder Null. Wie groß ist der $p$ -Wert (geben Sie vier Nachkommastellen an) für den Wilcoxon signed-rank test?
7. Sie verwenden ein Signifikanzniveau von 10%. Können Sie Ihre Nullhypothese ablehnen? Ja / Nein
Aufgabe

Der Datensatz in der Datei DVV.csv enthält zwei Variablen: CS und PG.

Um PG als lineare Funktion von CS zu erklären, schätzen Sie die Gleichung

PG $= \beta_0 + \beta_1$ CS ${} + u$ .

Sie nehmen an, dass $u$ normalverteilt ist.
1. Welchen Wert schätzen Sie für $\beta_1$ ?
2. Ihre Nullhypothese ist $\beta_1=0$ . Bestimmen Sie (auf vier Nachkommastellen genau) den $p$ -Wert für den (zweiseitigen) Test.
3. Sie verwenden ein Signifikanzniveau von 10 %. Können Sie Ihre Nullhypothese ablehnen? Ja / Nein
4. Was ist die Untergrenze des 95% Konfidenzintervalls für $\beta_1$ ?
5. Was ist die Obergrenze des 95% Konfidenzintervalls für $\beta_1$ ?
Aufgabe

Der Datensatz in der Datei DEJ.csv enthält 3 Variablen: CF, GR, KA.

Mit diesen Daten schätzen Sie den folgenden Zusammenhang:

$KA = \beta_0 + \beta_{CF} CF + \beta_{GR} GR + u$ .

Sie nehmen an, dass $u$ normalverteilt ist.
1. Welchen Wert schätzen Sie für $\beta_{CF}$ ?
2. Ihre Nullhypothese ist $H_0: \beta_{CF} = 0$ . Bestimmen Sie (auf vier Nachkommastellen genau) den $p$ -Wert für den (zweiseitigen) Test.
3. Sie verwenden ein Signifikanzniveau von 1%. Können Sie Ihre Nullhypothese ablehnen? Ja / Nein
4. Sie haben keine a-priori Informationen über die Verteilung von $\beta_{CF}$ (Sie halten alle Werte für gleich wahrscheinlich). Was ist die Untergrenze des 95%-Credible-Interval für $\beta_{CF}$ ?
5. Was ist die Obergrenze des 95%-Credible-Interval für $\beta_{CF}$ ?
Aufgabe

Sie untersuchen den Einfluss der beiden Variablen AV und CE auf die Variable WJ. Sie haben den folgenden Zusammenhang geschätzt:

$WJ = -3 + 2 AV + 3 CE + 2 AV \cdot CE + \epsilon$

$WJ$ ist Ihre abhängige Variable. Die Variablen $AV$ und $CE$ sind Ihre unabhängigen Variablen. $\epsilon$ ist das Residuum.
1. Was ist der marginale Effekt von AV auf WJ wenn CE den Wert 0 hat?
2. Was ist der marginale Effekt von CE auf WJ wenn AV den Wert 0 hat?
3. Was ist der marginale Effekt von AV auf WJ wenn CE den Wert -1 hat?
4. Was ist der marginale Effekt von CE auf WJ wenn AV den Wert 5 hat?
Aufgabe

Sie betrachten folgenden Zusammenhang:

$Y = \beta_0 + \beta_1 X_1 + \beta_2 X_2 + \beta_3 X_1 X_2 + u$

Die Variable $X_1$ bildet zwei Situationen ab, A und C: Im Fall A ist $X_1=0$ . Im Fall C ist $X_1=1$ .

Auch die Variable $X_2$ bildet zwei Situationen ab, G und X: Im Fall G ist $X_2=0$ . Im Fall X ist $X_2=1$ .

Die Mittelwerte von $Y$ für die vier möglichen Kombinationen von A und C und G und X sind in der folgenden Tabelle angegeben:
1. Wie groß ist $\beta_0$ ?
2. Wie groß ist $\beta_1$ ?
3. Wie groß ist $\beta_2$ ?
4. Wie groß ist $\beta_3$ ?
Aufgabe

Verwenden Sie die Daten aus der Datei DSK.csv. Bestimmen Sie bei den folgenden Fragen zunächst das passende Modell. Welcher (ggf. nicht lineare) Zusammenhang zwischen unabhängiger und abhängiger Variablen ist angemessen? Beantworten Sie dann die Fragen.
1. Verwenden Sie ein Modell, in dem sich MX um einen festen Prozentsatz ändert, wenn sich AH um einen festen Betrag ändert. Um wieviel Prozent ändert sich MX etwa, wenn sich AH um eine Einheit ändert?
2. Verwenden Sie ein Modell, in dem die Elastizität von QW bezüglich BC konstant ist. Was ist die Elastizität von QW bezüglich BC?
3. Verwenden Sie ein Modell, in dem der marginale Effekt von DG auf RE konstant ist. Was ist der marginale Effekt von DG auf RE?
4. Verwenden Sie ein Modell, in dem sich VP um einen festen Betrag ändert, wenn sich LS um einen festen Prozentsatz ändert. Um welchen Betrag ändert sich VP etwa, wenn sich LS um 1 Prozent ändert?
Aufgabe

In dieser Frage verwenden Sie ein Signifikanzniveau von 0.001.
1. Sie führen einen zweiseitigen Test durch. Sie gehen davon aus, dass Ihre Teststatistik einer Standard-Normalverteilung folgt. Wie groß darf der absolute Betrag Ihrer Teststatistik maximal werden, ohne dass Sie Ihre Nullhypothese ablehnen müssen? (Sie können diesen Wert mit R berechnen.)
2. Sie gehen davon aus, dass die Zufallsvariable $X$ einer Normalverteilung mit unbekanntem Mittelwert und Standardabweichung 4 folgt. In Ihrer Stichprobe mit 36 Beobachtungen finden Sie einen Stichprobenmittelwert von 4. Sie führen einen zweiseitigen Test durch. Ihre Nullhypothese ist, dass der Mittelwert von $X$ den Wert 20 hat. Wie groß ist der absolute Betrag Ihrer Teststatistik?
3. Lehnen Sie Ihre Nullhypothese ab? Ja / Nein
4. Sie nehmen weiter an, dass die Zufallsvariable $X$ einer Normalverteilung mit unbekanntem Mittelwert und Standardabweichung 4 folgt. In Ihrer Stichprobe mit 36 Beoachtungen finden Sie einen Stichprobenmittelwert von -20. Ihre Nullhypothese ist weiter, dass $X$ einen Mittelwert von 20 hat. Wie groß ist der $p$ -Wert für einen zweiseitigen Test (geben Sie mindestens 4 Nachkommastellen an)?
5. Lehnen Sie mit dieser Stichprobe Ihre Nullhypothese ab? Ja / Nein
Aufgabe

Der Datensatz in der Datei DSU.csv enthält vier Variablen: P, Q, R und T.

Mit diesen Daten schätzen Sie den folgenden Zusammenhang:

$T = \beta_0 + \beta_{P} P + \beta_{Q} Q + \beta_{R} R + u$ .

Sie nehmen an, dass $u$ normalverteilt ist.
1. Welchen Wert schätzen Sie mit dem OLS Schätzer für $\beta_{R}$ ?
2. Ihre Nullhypothese ist $H_0: \beta_{R} = 0$ . Bestimmen Sie (auf vier Nachkommastellen genau) den $p$ -Wert für den (zweiseitigen) Test.
3. Sie verwenden ein Signifikanzniveau von 5%. Können Sie Ihre Nullhypothese ablehnen? Ja / Nein
4. Sie haben keine a-priori Informationen über die Verteilung von $\beta_{R}$ . Was ist die Untergrenze des 95%-Credible-Interval für $\beta_{R}$ ?
5. Was ist die Obergrenze des 95%-Credible-Intervals für $\beta_{R}$ ?
Aufgabe

Der Datensatz in der Datei DTR.csv enthält vier Variablen: M, R, Y und Z.

Sie betrachten folgenden Zusammenhang:

$Z = \beta_0 + \beta_{M}M+\beta_{R}R+\beta_{M R}M\times R+\beta_{Y}Y + u$ .

Sie nehmen an, dass $u$ normalverteilt ist. Verwenden Sie den OLS Schätzer, um die Koeffizienten $\beta_0$ , $\beta_{M}$ , $\beta_{R}$ , $\beta_{M R}$ und $\beta_{Y}$ zu schätzen.
1. Wie groß ist der marginale Effekt von $M$ auf $Z$ wenn $R$ den Wert 0 hat?
2. Wie groß ist der marginale Effekt von $R$ auf $Z$ wenn $M$ den Wert 0 hat?
3. Wie groß ist der marginale Effekt von $M$ auf $Z$ wenn $R$ den Wert -2 hat?
4. Wie groß ist der marginale Effekt von $R$ auf $Z$ wenn $M$ den Wert -3 hat?
Aufgabe

Der Datensatz in der Datei DLX.csv enthält zwei Variablen: zf und vc. Die Variable vc gibt an, zu welcher Gruppe (LY oder TR) die Beobachtung zf gehört.

Vergleichen Sie die beiden Gruppen LY und TR mit einem $t$ -Test.
1. Ihre Nullhypothese ist, der Mittelwert von zf sei in beiden Gruppen gleich. Wie groß ist der $p$ -Wert für den $t$ -Test (geben Sie bitte vier Nachkommastellen an)?
2. Sie verwenden ein Signifikanzniveau von 10%. Können Sie Ihre Nullhypothese ablehnen? Ja / Nein
3. Ihre Nullhypothese ist, der Mittelwert von zf sei in Gruppe LY größer als in Gruppe TR. Wie groß ist der $p$ -Wert für den $t$ -Test (geben Sie bitte vier Nachkommastellen an)?
4. Sie verwenden ein Signifikanzniveau von 10%. Können Sie Ihre Nullhypothese ablehnen? Ja / Nein
5. Ihre Nullhypothese ist, der Mittelwert von zf sei in Gruppe TR größer als in Gruppe LY. Wie groß ist der $p$ -Wert für den $t$ -Test (geben Sie bitte vier Nachkommastellen an)?
6. Sie verwenden ein Signifikanzniveau von 10%. Können Sie Ihre Nullhypothese ablehnen? Ja / Nein
Aufgabe

Sie betrachten eine normalverteilte Zufallsvariable $X \sim N(\mu,\sigma^2)$ mit unbekannter Varianz $\sigma^2$ . In Ihrer Stichprobe mit 22 Beobachtungen finden Sie einen Stichprobenmittelwert von 4 und eine Standardabweichung in der Stichprobe von 4.

Bestimmen Sie ein 95%-Konfidenzintervall für $\mu$ .
1. Was ist die untere Grenze des 95%-Konfidenzintervals für $\mu$ ?
2. Was ist die obere Grenze des 95%-Konfidenzintervals für $\mu$ ?
3. Sie verwenden ein Signifikanzniveau von 5%. Ihre Nullhypothese ist $\mu_0=8.4$ . Können Sie Ihre Nullhypothese ablehnen? Ja / Nein
Aufgabe
Ein Merkmal in Ihrer Stichprobe kann vier verschiedene Werte haben: FB, JG, LN, RV.

Die folgende Tabelle zeigt in der Spalte Häufigkeit die Häufigkeiten, mit denen Sie die vier Werte FB, JG, LN, RV in Ihrer Stichprobe beobachtet haben.

Sie wollen eine Theorie testen. Nach dieser Theorie treten die vier Werte FB, JG, LN, RV mit Wahrscheinlichkeiten auf, die Sie in der Spalte Erwartete Wahrscheinlichkeit finden:

Häufigkeit Erwartete Wahrscheinlichkeit

FB 20 2/8

JG 9 3/8

LN 5 1/8

RV 29 2/8

Mit anderen Worten: Sie haben 20 mal den Wert FB beobachtet. Sie erwarten, dass in der Grundgesamtheit dieser Wert mit Wahrscheinlichkeit 2/8 auftritt. Sie haben 9 mal den Wert JG beobachtet. Sie erwarten, dass in der Grundgesamtheit dieser Wert mit Wahrscheinlichkeit 3/8 auftritt. Sie haben 5 mal den Wert LN beobachtet. Sie erwarten, dass in der Grundgesamtheit dieser Wert mit Wahrscheinlichkeit 1/8 auftritt. Sie haben 29 mal den Wert RV beobachtet. Sie erwarten, dass in der Grundgesamtheit dieser Wert mit Wahrscheinlichkeit 2/8 auftritt. .

Mit dem folgenden Kommando speichern Sie einen Vektor, der die beobachteten Häufigkeiten darstellt, in der Variablen FW:
```
FW <- c(20, 9, 5, 29)
```
Mit dem folgenden Kommando speichern Sie einen Vektor, der die erwarteten Wahrscheinlichkeiten darstellt, in der Variablen prny:
```
prny <- c(2/8, 3/8, 1/8, 2/8)
```
Ihr Signifikanzniveau ist 0.1%. Ihre Nullhypothese ist, die vier Werte FB, JG, LN, RV sind entsprechend den Wahrscheinlichkeiten, die Sie in der Spalte Erwartete Wahrscheinlichkeit finden, verteilt.

Testen Sie diese Nullhypothese mit einem Chi-Quadrat-Anpassungs-Test.
1. Welchen $p$ -Wert erhalten Sie?
2. Sie verwenden ein Signifikanzniveau von 0.1%. Können Sie Ihre Nullhypothese ablehnen? Ja / Nein

	Häufigkeit	Erwartete Wahrscheinlichkeit
FB	20	2/8
JG	9	3/8
LN	5	1/8
RV	29	2/8