Weitere Aufgaben für BW24.1 - 05
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Aufgabe
Installieren Sie R und ein Frontend für R, z.B. R-Studio. (Installieren Sie möglichst nicht auf einem Netzwerklaufwerk, Clouodlaufwerk, OneDrive,… - das wird kompliziert!)
Speichern Sie die Datei D01.csv in Ihrem Arbeitsverzeichnis. (Wenn Sie die Datei nicht speichern, sondern zunächst in einem Tabellenkalkulationsprogramm, z.B. Microsoft Excel, öffnen, und danach speichern, können viele Dinge schief gehen. Vermeiden Sie Umwege über Microsoft Excel! Falls Ihr Browser die Datei nicht speichern will, hilft es oft, mit der rechten Maustaste auf den Link zu klicken. Sehr oft erscheint dann ein Menü, in dem Sie »Speichern als…« oder »Link speichern…« wählen können.)
Wenn Sie nicht wissen, welches Verzeichnis R gerade als Arbeitsverzeichnis verwendet, hilft das Kommando
getwd()
In RStudio können Sie Ihr Arbeitsverzeichnis auch über das Menü einstellen: Session / Set Working Directory / Choose Directory
Laden Sie die Datei
D01.csv
mit dem KommandoD01 <- read.csv("D01.csv")
Jetzt enthält die Variable
D01
Ihren Datensatz. (Natürlich müssen Sie nichtD01
als Namen für den Datensatz verwenden.D01
ist nur ein Beispiel.) In dieser Übung werfen wir einen kurzen Blick auf den Datensatz:
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Benutzen Sie das Kommando
nrow(D01)
um festzustellen, wie viele Zeilen Ihr Datensatz hat. Wie viele Zeilen sind es? -
Benutzen Sie das Kommando
names(D01)
um die Namen der Variablen in diesem Datensatz zu ermitteln. Wie viele Variablen enthält Ihr Datensatz? -
Benutzen Sie das Kommando
mean(D01$X3)
um den Mittelwert der VariablenX3
in diesem Datensatz zu ermitteln. -
Benutzen Sie das Kommando
median(D01$X3)
um den Median der VariablenX3
in diesem Datensatz zu ermitteln. -
Benutzen Sie das Kommando
sd(D01$X3)
um die Standardabweichung der VariablenX3
in diesem Datensatz zu ermitteln. (Wenn Moodle sich über eine “incomplete answer” beklagt, prüfen Sie, ob Ihre Antwort im richtigen Format vorliegt. Abhängig von den Einstellungen in Moodle kann es sein, dass Moodle Dezimalzahlen z.B. als3.14
erwartet (z.B. wenn Sie in Moodle als Sprache Englisch wählen), oder als3,14
(wenn Sie in Moodle als Sprache z.B. Deutsch wählen).)
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Benutzen Sie das Kommando
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Aufgabe
Ihre Stichprobe der Zufallsvariablen enthält unabhängige und normalverteilte Beobachtungen: . Sie suchen einen Schätzer für . Welche der folgenden Aussagen sind wahr?
Der Schätzer ist ein erwartungstreuer Schätzer für .
Ja / Nein
Der Schätzer ist ein erwartungstreuer Schätzer für .
Ja / Nein
Der Schätzer ist ein erwartungstreuer Schätzer für .
Ja / Nein
Der Schätzer ist ein erwartungstreuer Schätzer für .
Ja / Nein
Der Schätzer dominiert .
Ja / Nein
Der Schätzer dominiert .
Ja / Nein
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Aufgabe
Die Zufallsvariable hat eine Varianz von . Sie haben vor, eine Stichprobe von unabhängigen und identisch verteilten Beobachtungen zu ziehen. Wie groß muss Ihre Stichprobe mindestens sein, damit die Varianz des Stichprobenmittelwertes nicht größer als ist? (Denken Sie daran: es gibt keine halben oder dreiviertel Stichprobenbeobachtungen.)
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Aufgabe
Eine Zufallsvariable ist wie folgt verteilt:
wobei .
Eine Stichprobe ergibt die folgenden Beobachtungen:
.
Was ist der Maximum-Likelihood Schätzer für ?
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Aufgabe
Eine Zufallsvariable folgt einer Exponentialverteilung mit Parameter .
Die Dichtefunktion der Exponentialverteilung ist für .
Eine Stichprobe ergibt die Beobachtungen .
Was ist der Maximum-Likelihood Schätzer für ?
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Aufgabe
Eine Zufallsvariable folgt einer Verteilung mit Erwartungswert und Varianz .
Ihre Stichprobe enthält die folgenden Beobachtungen:
.
Berechnen Sie den Momentenschätzer für auf Basis des ersten Moments.
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Aufgabe
Verwenden Sie die Stichprobe
X
aus der Datei D04.csv.X
ist eine Stichprobe der Zufallsvariablen .Sie nehmen nun an, dass die Zufallsvariable einer Normalverteilung folgt: .
- Was ist die Untergrenze des 95%-Credible-Intervals für ?
- Was ist die Obergrenze des 95%-Credible-Intervals für ?
- Was ist die Untergrenze des 95%-Credible-Intervals für ?
- Was ist die Obergrenze des 95%-Credible-Intervals für ?
- Wie wahrscheinlich ist es etwa (in Prozent), dass >10.728?
- Wie wahrscheinlich ist es etwa (in Prozent), dass im Intervall [8.917,9.810] liegt?
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Aufgabe
Verwenden Sie in dieser Aufgabe ein Signifikanzniveau von 0.1.
- Stellen Sie sich vor, Sie führen einen zweiseitigen Test durch. Sie gehen davon aus, dass Ihre Teststatistik einer Standard-Normalverteilung folgt. Wie groß darf der absolute Betrag Ihrer Teststatistik maximal werden, ohne dass Sie Ihre Nullhypothese ablehnen müssen?
- Sie gehen davon aus, dass die Zufallsvariable einer Normalverteilung mit unbekanntem Mittelwert und Standardabweichung 7 folgt. In Ihrer Stichprobe mit 19 Beobachtungen finden Sie einen Stichprobenmittelwert von -3. Sie führen einen zweiseitigen Test durch. Ihre Nullhypothese ist, dass der Mittelwert von den Wert 20 hat. Wie groß ist der absolute Betrag Ihrer Teststatistik?
- Sie gehen weiter von einer Standardabweichung von 7 aus. Jetzt betrachten Sie eine Stichprobe mit 19 Beobachtungen und mit Stichprobenmittelwert 20. Die Nullhypothese Ihres zweiseitigen Tests ist weiter, dass der Mittelwert von den Wert 20 hat. Wie groß ist der -Wert (auf 4 Nachkommastellen gerundet)?
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Aufgabe
Der Datensatz in der Datei DTW.csv enthält zwei Variablen:
XNC
undwuz
. Die Variablewuz
gibt an, zu welcher Gruppe (BM oder PQ) die BeobachtungXNC
gehört.Vergleichen Sie die beiden Gruppen BM und PQ mit einem -Test.
- Ihre Nullhypothese ist, der Mittelwert von XNC sei in beiden Gruppen gleich. Wie groß ist der -Wert für den -Test?
- Sie verwenden ein Signifikanzniveau von 5%. Können Sie Ihre Nullhypothese ablehnen? Ja / Nein
- Ihre Nullhypothese ist, der Mittelwert von XNC sei in Gruppe BM größer als in Gruppe PQ. Wie groß ist der -Wert für den -Test?
- Sie verwenden ein Signifikanzniveau von 5%. Können Sie Ihre Nullhypothese ablehnen? Ja / Nein
- Ihre Nullhypothese ist, der Mittelwert von XNC sei in Gruppe PQ größer als in Gruppe BM. Wie groß ist der -Wert für den -Test?
- Sie verwenden ein Signifikanzniveau von 5%. Können Sie Ihre Nullhypothese ablehnen? Ja / Nein
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Aufgabe
Sie betrachten eine normalverteilte Zufallsvariable mit unbekannter Varianz . In Ihrer Stichprobe mit 15 Beobachtungen finden Sie einen Stichprobenmittelwert von 5 und eine Standardabweichung in der Stichprobe von 5.
- Bestimmen Sie ein 95%-Konfidenzintervall für Ihre Schätzung des Erwartungswerts von : .
- Was ist die untere Grenze des Intervals?
- Was ist die obere Grenze des Intervals?
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Aufgabe
Sie vergleichen die drei Merkmale CN, DS, PG mit den drei Merkmalen QM, VJ, WE. Sie wollen prüfen, ob die drei Merkmale CN, DS, PG von den drei Merkmalen QM, VJ, WE unabhängig sind.Die folgende Tabelle zeigt die Häufigkeiten, mit denen Sie Kombinationen der drei Merkmale CN, DS, PG mit den drei Merkmalen QM, VJ, WE in Ihrer Stichprobe gefunden haben:
Das folgende Kommando speichert eine solche Tabelle in der Variablen
XA
:XA <- rbind(c(32, 11, 20), c(18, 35, 27), c(11, 23, 10))
Ihr Signifikanzniveau ist 0.1%. Ihre Nullhypothese ist, die Merkmale CN, DS, PG sind von den Merkmalen QM, VJ, WE unabhängig.
Testen Sie diese Nullhypothese mit einem Chi-Quadrat-Test.
- Welchen -Wert erhalten Sie (geben Sie mindestens 4 Nachkommastellen an)?
- Sie verwenden ein Signifikanzniveau von 0.1%. Können Sie Ihre Nullhypothese ablehnen? Ja / Nein
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Aufgabe
Der Datensatz in der Datei DYQ.csv enthält
18
paarweise Beobachtungen in den beiden VariablenFS
undVW
. Die Beobachtungen vonFS
undVW
in der gleichen Zeile des Datensatzes gehören jeweils zur gleichen Beobachtungseinheit, sie bilden ein Paar.Vergleichen Sie die beiden Variablen FS und VW. Für Hypothesentests verwenden Sie einen Wilcoxon signed-rank Test.
- Was ist der Median der Differenz
FS-VW
? - Ihre Nullhypothese ist, der Median der Differenz
FS-VW
sei Null. Wie groß ist der -Wert (geben Sie vier Nachkommastellen an) für den Wilcoxon signed-rank test? - Sie verwenden ein Signifikanzniveau von 5%. Können Sie Ihre Nullhypothese ablehnen? Ja / Nein
- Ihre Nullhypothese ist, der Median der Differenz
FS-VW
sei positiv oder Null. Wie groß ist der -Wert (geben Sie vier Nachkommastellen an) für den Wilcoxon signed-rank test? - Sie verwenden ein Signifikanzniveau von 5%. Können Sie Ihre Nullhypothese ablehnen? Ja / Nein
- Ihre Nullhypothese ist, der Median der Differenz
FS-VW
sei negativ oder Null. Wie groß ist der -Wert (geben Sie vier Nachkommastellen an) für den Wilcoxon signed-rank test? - Sie verwenden ein Signifikanzniveau von 5%. Können Sie Ihre Nullhypothese ablehnen? Ja / Nein
- Was ist der Median der Differenz
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Aufgabe
Der Datensatz in der Datei DPV.csv enthält zwei Variablen:
SR
undZT
.Um
ZT
als lineare Funktion vonSR
zu erklären, schätzen Sie die GleichungZT SR .
Sie nehmen an, dass normalverteilt ist.
- Welchen Wert schätzen Sie für ?
- Ihre Nullhypothese ist . Bestimmen Sie (auf vier Nachkommastellen genau) den -Wert für den (zweiseitigen) Test.
- Sie verwenden ein Signifikanzniveau von 0.1 %. Können Sie Ihre Nullhypothese ablehnen? Ja / Nein
- Was ist die Untergrenze des 95% Konfidenzintervalls für ?
- Was ist die Obergrenze des 95% Konfidenzintervalls für ?
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Aufgabe
Der Datensatz in der Datei DJX.csv enthält 5 Variablen:
EV, NC, PR, TL, ZD
.Mit diesen Daten schätzen Sie den folgenden Zusammenhang:
.
Sie nehmen an, dass normalverteilt ist.
- Welchen Wert schätzen Sie für ?
- Ihre Nullhypothese ist . Bestimmen Sie (auf vier Nachkommastellen genau) den -Wert für den (zweiseitigen) Test.
- Sie verwenden ein Signifikanzniveau von 5%. Können Sie Ihre Nullhypothese ablehnen? Ja / Nein
- Sie haben keine a-priori Informationen über die Verteilung von (Sie halten alle Werte für gleich wahrscheinlich). Was ist die Untergrenze des 95%-Credible-Interval für ?
- Was ist die Obergrenze des 95%-Credible-Interval für ?
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Aufgabe
Sie untersuchen den Einfluss der beiden Variablen EF und GQ auf die Variable MN. Sie haben den folgenden Zusammenhang geschätzt:
ist Ihre abhängige Variable. Die Variablen und sind Ihre unabhängigen Variablen. ist das Residuum.
- Was ist der marginale Effekt von EF auf MN wenn GQ den Wert 0 hat?
- Was ist der marginale Effekt von GQ auf MN wenn EF den Wert 0 hat?
- Was ist der marginale Effekt von EF auf MN wenn GQ den Wert -2 hat?
- Was ist der marginale Effekt von GQ auf MN wenn EF den Wert -1 hat?
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Aufgabe
Sie betrachten folgenden Zusammenhang:
Die Variable bildet zwei Situationen ab, C und N: Im Fall C ist . Im Fall N ist .
Auch die Variable bildet zwei Situationen ab, R und X: Im Fall R ist . Im Fall X ist .
Die Mittelwerte von für die vier möglichen Kombinationen von C und N und R und X sind in der folgenden Tabelle angegeben:
- Wie groß ist ?
- Wie groß ist ?
- Wie groß ist ?
- Wie groß ist ?
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Aufgabe
Verwenden Sie die Daten aus der Datei DUN.csv. Bestimmen Sie bei den folgenden Fragen zunächst das passende Modell. Welcher (ggf. nicht lineare) Zusammenhang zwischen unabhängiger und abhängiger Variablen ist angemessen? Beantworten Sie dann die Fragen.
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Verwenden Sie ein Modell, in dem sich
SR
um einen festen Prozentsatz ändert, wenn sichCD
um einen festen Betrag ändert. Um wieviel Prozent ändert sichSR
etwa, wenn sichCD
um eine Einheit ändert? -
Verwenden Sie ein Modell, in dem die Elastizität von
TL
bezüglichEX
konstant ist. Was ist die Elastizität vonTL
bezüglichEX
? -
Verwenden Sie ein Modell, in dem der marginale Effekt von
GV
aufWK
konstant ist. Was ist der marginale Effekt vonGV
aufWK
? -
Verwenden Sie ein Modell, in dem sich
YN
um einen festen Betrag ändert, wenn sichJF
um einen festen Prozentsatz ändert. Um welchen Betrag ändert sichYN
etwa, wenn sichJF
um 1 Prozent ändert?
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Verwenden Sie ein Modell, in dem sich
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Aufgabe
In dieser Frage verwenden Sie ein Signifikanzniveau von 0.01.
- Sie führen einen zweiseitigen Test durch. Sie gehen davon aus, dass Ihre Teststatistik einer Standard-Normalverteilung folgt. Wie groß darf der absolute Betrag Ihrer Teststatistik maximal werden, ohne dass Sie Ihre Nullhypothese ablehnen müssen? (Sie können diesen Wert mit R berechnen.)
- Sie gehen davon aus, dass die Zufallsvariable einer Normalverteilung mit unbekanntem Mittelwert und Standardabweichung 6 folgt. In Ihrer Stichprobe mit 22 Beobachtungen finden Sie einen Stichprobenmittelwert von 10. Sie führen einen zweiseitigen Test durch. Ihre Nullhypothese ist, dass der Mittelwert von den Wert 20 hat. Wie groß ist der absolute Betrag Ihrer Teststatistik?
- Lehnen Sie Ihre Nullhypothese ab? Ja / Nein
- Sie nehmen weiter an, dass die Zufallsvariable einer Normalverteilung mit unbekanntem Mittelwert und Standardabweichung 6 folgt. In Ihrer Stichprobe mit 22 Beoachtungen finden Sie einen Stichprobenmittelwert von -3. Ihre Nullhypothese ist weiter, dass einen Mittelwert von 20 hat. Wie groß ist der -Wert für einen zweiseitigen Test (geben Sie mindestens 4 Nachkommastellen an)?
- Lehnen Sie mit dieser Stichprobe Ihre Nullhypothese ab? Ja / Nein
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Aufgabe
Der Datensatz in der Datei DFM.csv enthält vier Variablen:
H, K, N und Z
.Mit diesen Daten schätzen Sie den folgenden Zusammenhang:
.
Sie nehmen an, dass normalverteilt ist.
- Welchen Wert schätzen Sie mit dem OLS Schätzer für ?
- Ihre Nullhypothese ist . Bestimmen Sie (auf vier Nachkommastellen genau) den -Wert für den (zweiseitigen) Test.
- Sie verwenden ein Signifikanzniveau von 5%. Können Sie Ihre Nullhypothese ablehnen? Ja / Nein
- Sie haben keine a-priori Informationen über die Verteilung von . Was ist die Untergrenze des 95%-Credible-Interval für ?
- Was ist die Obergrenze des 95%-Credible-Intervals für ?
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Aufgabe
Der Datensatz in der Datei DTR.csv enthält vier Variablen:
C, H, P und S
.Sie betrachten folgenden Zusammenhang:
.
Sie nehmen an, dass normalverteilt ist. Verwenden Sie den OLS Schätzer, um die Koeffizienten , , , und zu schätzen.
- Wie groß ist der marginale Effekt von auf wenn den Wert 0 hat?
- Wie groß ist der marginale Effekt von auf wenn den Wert 0 hat?
- Wie groß ist der marginale Effekt von auf wenn den Wert -1 hat?
- Wie groß ist der marginale Effekt von auf wenn den Wert 1 hat?
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Aufgabe
Der Datensatz in der Datei DGA.csv enthält zwei Variablen:
tw
undkd
. Die Variablekd
gibt an, zu welcher Gruppe (GX oder JY) die Beobachtungtw
gehört.Vergleichen Sie die beiden Gruppen GX und JY mit einem -Test.
- Ihre Nullhypothese ist, der Mittelwert von tw sei in beiden Gruppen gleich. Wie groß ist der -Wert für den -Test (geben Sie bitte vier Nachkommastellen an)?
- Sie verwenden ein Signifikanzniveau von 1%. Können Sie Ihre Nullhypothese ablehnen? Ja / Nein
- Ihre Nullhypothese ist, der Mittelwert von tw sei in Gruppe GX größer als in Gruppe JY. Wie groß ist der -Wert für den -Test (geben Sie bitte vier Nachkommastellen an)?
- Sie verwenden ein Signifikanzniveau von 1%. Können Sie Ihre Nullhypothese ablehnen? Ja / Nein
- Ihre Nullhypothese ist, der Mittelwert von tw sei in Gruppe JY größer als in Gruppe GX. Wie groß ist der -Wert für den -Test (geben Sie bitte vier Nachkommastellen an)?
- Sie verwenden ein Signifikanzniveau von 1%. Können Sie Ihre Nullhypothese ablehnen? Ja / Nein
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Aufgabe
Sie betrachten eine normalverteilte Zufallsvariable mit unbekannter Varianz . In Ihrer Stichprobe mit 16 Beobachtungen finden Sie einen Stichprobenmittelwert von 12 und eine Standardabweichung in der Stichprobe von 8.
Bestimmen Sie ein 90%-Konfidenzintervall für .
- Was ist die untere Grenze des 90%-Konfidenzintervals für ?
- Was ist die obere Grenze des 90%-Konfidenzintervals für ?
- Sie verwenden ein Signifikanzniveau von 10%. Ihre Nullhypothese ist . Können Sie Ihre Nullhypothese ablehnen? Ja / Nein
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Aufgabe
Ein Merkmal in Ihrer Stichprobe kann sechs verschiedene Werte haben: EQ, GW, MC, RP, SV, YF.Die folgende Tabelle zeigt in der Spalte Häufigkeit die Häufigkeiten, mit denen Sie die sechs Werte EQ, GW, MC, RP, SV, YF in Ihrer Stichprobe beobachtet haben.
Sie wollen eine Theorie testen. Nach dieser Theorie treten die sechs Werte EQ, GW, MC, RP, SV, YF mit Wahrscheinlichkeiten auf, die Sie in der Spalte Erwartete Wahrscheinlichkeit finden:
Häufigkeit Erwartete Wahrscheinlichkeit EQ 18 3/13 GW 23 3/13 MC 5 1/13 RP 5 1/13 SV 10 3/13 YF 10 2/13 Mit anderen Worten: Sie haben 18 mal den Wert EQ beobachtet. Sie erwarten, dass in der Grundgesamtheit dieser Wert mit Wahrscheinlichkeit 3/13 auftritt. Sie haben 23 mal den Wert GW beobachtet. Sie erwarten, dass in der Grundgesamtheit dieser Wert mit Wahrscheinlichkeit 3/13 auftritt. Sie haben 5 mal den Wert MC beobachtet. Sie erwarten, dass in der Grundgesamtheit dieser Wert mit Wahrscheinlichkeit 1/13 auftritt. Sie haben 5 mal den Wert RP beobachtet. Sie erwarten, dass in der Grundgesamtheit dieser Wert mit Wahrscheinlichkeit 1/13 auftritt. Sie haben 10 mal den Wert SV beobachtet. Sie erwarten, dass in der Grundgesamtheit dieser Wert mit Wahrscheinlichkeit 3/13 auftritt. Sie haben 10 mal den Wert YF beobachtet. Sie erwarten, dass in der Grundgesamtheit dieser Wert mit Wahrscheinlichkeit 2/13 auftritt. .
Mit dem folgenden Kommando speichern Sie einen Vektor, der die beobachteten Häufigkeiten darstellt, in der Variablen
LJ
:LJ <- c(18, 23, 5, 5, 10, 10)
Mit dem folgenden Kommando speichern Sie einen Vektor, der die erwarteten Wahrscheinlichkeiten darstellt, in der Variablen
prxy
:prxy <- c(3/13, 3/13, 1/13, 1/13, 3/13, 2/13)
Ihr Signifikanzniveau ist 1%. Ihre Nullhypothese ist, die sechs Werte EQ, GW, MC, RP, SV, YF sind entsprechend den Wahrscheinlichkeiten, die Sie in der Spalte Erwartete Wahrscheinlichkeit finden, verteilt.
Testen Sie diese Nullhypothese mit einem Chi-Quadrat-Anpassungs-Test.
- Welchen -Wert erhalten Sie?
- Sie verwenden ein Signifikanzniveau von 1%. Können Sie Ihre Nullhypothese ablehnen? Ja / Nein